LES SYLLOGISMES DANS LA LOGIQUE D' ARISTOTE

Je rassemble ici les 3 aricles déjà publiés sur les syllogismes dans la logique aristotélicienne.

Si j'énonce la phrase suivante :

"Tous les hommes sont mortels, or Léon est un homme, donc Léon est mortel" personne ne trouvera rien à redire.
Mais si je dis " Tous les chats ont quatre pattes, or mon chien a quatre pattes, donc mon chien est un chat", on me rétorquera que je manque de logique !
De même, si je dis : "Tous les hommes sont mortels, or Léon est mortel, donc Léon est un homme", ma conclusion n'est pas correcte car Léon pourrait être un animal (il n'y a pas que les hommes qui meurent).
Quelle différence y-a-t-il entre ces différentes phrases ? Pourquoi seule la première peut-elle être considérée comme un raisonnement valide ?

Ces énoncés sont des syllogismes. Aristote les a formalisés très précisément dans le Livre III de l'Organum, que l'on a nommé Les Premiers Analytiques. Il définit le syllogisme ainsi : " Le syllogisme est un raisonnement où, certaines choses étant prouvées, une chose autre que celles qui ont été accordées se déduit nécessairement des choses qui ont été accordées".

Dans sa forme usuelle, un syllogisme contient deux prémisses et une conclusion. Dans le premier exemple de l'introduction la première prémisse, dite majeure est : "Tous les hommes sont mortels". La seconde prémisse dite mineure est : "Léon est un homme". La conclusion est "Léon est mortel". 

On ne peut pas dire d'un syllogisme qu'il est vrai ou faux. On peut simplement dire qu'il est valide ou non valide, et, s'il est valide, qu'il est concluant ou non concluant.

a/ Un syllogisme valide est un syllogisme dont la forme est valide  comme dans cet exemple :

Tous les arbres parlent

or, les platanes sont des arbres,

donc les platanes parlent.

Ce syllogisme est valide car les deux prémisses autorisent effectivement la conclusion.

Pour montrer la variété des formes que peut prendre un syllogisme, donnons deux autres exemples de syllogisme valide :

Aucune voiture ne fonctionne avec de l'essence,

Or quelques véhicules qui fonctionnent avec de l'essence ont des ailes,

donc quelques véhicules qui ont des ailes ne sont pas des voitures.

Autre exemple de syllogisme valide :

Aucun Français ne sait nager,

Or les gens qui savent nager sont chauves

Donc certains chauves ne sont pas Français.

par contre :

Quelques hommes sont immortels,

or Léon est un homme,

donc Léon est immortel

n'est pas un syllogisme valide ; non pas car la prémisse majeure est 

fausse, mais parce que la forme n'est pas valide (il se peut que Léon ne fasse pas partie des quelques hommes qui sont immortels).

b/ Un syllogisme concluant est un syllogisme valide dont les deux prémisses sont vraies. Ainsi le syllogisme valide cité plus haut  (tous les arbres parlent, etc.) est valide mais non concluant (car les arbres ne parlent pas). Par contre :

Aucun chien n'a cinq pattes,

or Pipa est un chien,

donc Pipa n'a pas cinq pattes

est un syllogisme valide et concluant.

Un syllogisme concluant fonctionne comme une démonstration mathématique qui permet de déduire ce que l'on ne sait pas de ce qu'on sait déjà.

Quelques définitions

a/ Une proposition (prémisse ou conclusion) comprend un sujet et un prédicat, les deux termes étant reliés par une copule (souvent le verbe être). Dans la proposition Léon est un homme : 

• "Léon" est le sujet,
• "homme" est le prédicat,
• "est" est la copule.

Il peut arriver que la copule ne soit pas explicite. Par exemple : "Polo dort" est une contraction de "Polo est en état de sommeil".

b/ On appelle terme moyen (ou tout simplement moyen) le terme commun aux deux prémisses. Par exemple, le terme moyen est "arbre" dans le syllogisme :

Tous les arbres parlent

or, les platanes sont des arbres,

donc les platanes parlent.

On notera :

• que l'existence d'un terme moyen est une obligation pour construire un syllogisme valide,
• que le terme moyen n'apparaît jamais dans la conclusion. 

c/ Une proposition peut être universelle ou particulière en fonction de l'extension de son sujet :

• "les chats ont des ailes" est une proposition universelle (elle signifie "tous les chats ont des ailes"),
• "Au moins un chien s'appelle Pipa " est une proposition particulière (tous les chiens ne s'appellent pas Pipa).

d/ Une proposition peut être affirmative ou négative :

• "Les arbres parlent" est une proposition affirmative
• "Pipa n'est pas un homme" est une proposition négative

Notion de figures

En fonction de la position du terme moyen dans chacune des deux prémisses, on distingue 4 figures de syllogismes :

Exemple de syllogisme valide pour chacune des 4 figures. Les termes moyens figurent en caractères gras : 

Figure 1 :
Les hommes sont mortels,
or Polo est un homme,
donc Polo est mortel.

Figure 2 :
Tous les chats on cinq pattes,
Or Félix n'a pas cinq pattes,
Donc Félix n'est pas un chat.

Figure 3 :
Les arbres ont des ailes,
or les arbres sont des végétaux,
donc certains végétaux ont des ailes.

Figure 4 :
Toutes les voitures sont des véhicules à 4 roues,
Or tous les véhicules à 4 roues sont rouges,
donc les voitures sont rouges.


Notion de classes

En fonction de la nature universelle ou particulière et positive ou négative de la proposition, on distingue 4 classes de propositions que, depuis le Moyen Âge, on note A, E, I ou O. Les classes s'appliquent donc aux propositions du syllogisme, et non pas au syllogisme lui-même :

Classe A : universelle affirmative

Classe E : universelle négative
Classe I : particulière affirmative
Classe O : particulière négative

Notion de mode

Puisqu'il y a 3 propositions dans un syllogisme, il y a  64 combinaisons possibles (4 x 4 x4) : AEI, AEO, AIO, etc.

En outre, chaque combinaison peut correspondre à 4 figures différentes. Au total il y a donc 64x4=256 possibilités. Chaque possibilité est appelé un mode du syllogisme.

Attention ! Comme on le verra les 256 modes ne sont pas tous valides.

Règles de validité des syllogismes

1. Au moins une des prémisses doit être affirmative
Examinons le cas contraire. Exemple :
x n'appartient pas à l'ensemble des X,
or X n'appartient pas à l'ensemble des Y

On ne peut rien conclure sur x et Y. Le diagramme ci-dessous montre que les prémisses ne permettent pas de faire un choix entre les cas 1 et 2 :

Il en résulte que tous les modes du type EE_ et OO_ ne sont pas valides.

2°/ Si une des prémisses est négative, la conclusion doit être négative
Examinons le cas contraire : une des prémisses est négative et la conclusion est positive. Exemple :

a n'appartient pas à l'ensemble Y
or, Y appartient à l'ensemble Z
donc a appartient à Z

La conclusion n'est pas correcte. dans le schéma qui suit les deux prémisses sont respectées mais la conclusion est fausse. 

Il en résulte que tous les modes du type E_O, E_I, O_A et O_I ne sont pas des modes valides.


3°/ Si les deux prémisses sont affirmatives, la conclusion doit être affirmative 

Examinons le cas contraire : les deux prémisses sont affirmatives et la conclusion est négative. Exemple :

a appartient à Y
or, Y appartient à Z
donc a n'appartient pas à Z

Là encore, la conclusion n'est pas correcte. Le schéma qui suit montre que les deux prémisses sont respectées mais que la conclusion est fausse. 

Donc : les modes du type AAO, AAE, AIE, AIO, IIO, IIE, IAE et IAO ne sont pas valides.

4°/ L'une au moins des deux prémisses doit être universelle
Contre-exemple :

Quelques éléments de X appartiennent à Y,
or quelques élément de Y appartiennet à Z,
donc quelques éléments de X appartiennent à Z

La conclusion n'est pas correcte car deux situations sont possibles. Dans chacun des deux cas les prémisses sont pourtant respectées :

Cette règle rend invalide les modes : II_, IO_, OO_, et OI_.

5°/ Si l'une  des prémisses est particulière, la conclusion doit être particulière
Contre-exemple

Quelques éléments de X appartiennent à Y,
or tous les éléments de Y appartiennent à Z,
donc tous les éléments de X appartiennent à Z.

La figure ci-dessous montre clairement que la conclusion est fausse:

Cette règle invalide les modes IIA, IIE, IAA, IAE, OOA, OOE, OIA et OIE.

Après application de ces règles, il ne reste que 24 modes valides. Nous allons voir quels sont ces modes.

En fait les auteurs qui s'intéressent à la logique aristotélicienne ne retiennent généralement que 19 syllogismes car 5 syllogismes parmi les 24 sont en fait des formes "affaiblies" d'autre syllogisme. Nous en donnons d'emblée un exemple pour bien comprendre cette subtilité ; considérons le syllogisme valide suivant :
Polo est un homme,
or tous les hommes sont mortels,
donc Polo est mortel.

et le suivant :
Polo est un homme,
or tous les hommes sont mortels,
donc quelques hommes sont mortels

Le second syllogisme est valide mais sa conclusion a une extension moindre que le premier et ne présente aucun intérêt : on peut directement conclure " quelques hommes sont mortels" de la prémisse "tous les hommes sont mortels". La prémisse "Polo est un homme" ne contribue pas à la conclusion. Nous ne présenterons ici que les 19 syllogismes non affaiblis. 

Pour présenter les syllogismes valides nous ferons essentiellement appel à deux notions définies plus haut : la notion de figure et la notion de classe.  Rappelons que les 4 classes sont les suivantes :

Classe A : universelle affirmative

Classe E : universelle négative

Classe I : particulière affirmative

Classe O : particulière négative

Notation
Depuis les scolastiques du Moyen Âge l'habitude a été prise, pour des raisons mnémotechniques, d'attribuer à chaque mode de syllogisme un nom (toujours le même). Ces noms n'ont aucun sens mais si on extrait les trois voyelles du mot elles forment, dans l'ordre, le mode du syllogisme portant ce nom.
Exemple : le syllogisme felapton comporte les 3 voyelles e,a et o : il est du type EAO.
Les moyens termes sont écrits en caractère gras.
Tous les exemples données sont des syllogismes valides mais pas obligatoirement concluants (les prémisses peuvent être fausses ou discutables).

Les quatre syllogismes de la première figure

1.1/ Barbara

Mode : AAA

Exemple : 

Tous les hommes sont mortels,

Or Polo est un homme,

donc Polo est mortel.

Diagramme :

1.2/ Celarent

Mode : EAE

Exemple : 

Aucun homme n'a trois jambes

Or Polo est un homme,

donc Polo n'a pas trois jambes.

Diagramme :

1.3/ Darii

Mode : AII

Exemple : 

Tous les oiseaux ont des ailes

Or quelques animaux sont des oiseaux,

donc quelques animaux ont des ailes. 

Diagramme :

1.4/ Ferio

Mode : EIO

Exemple : 

Aucun poisson n'a des jambes,

Or quelques animaux sont des poissons,

donc quelques animaux n'ont pas de jambes.

Diagramme 

Les quatre syllogismes de la deuxième figure

2.1/ Festino

Mode : EIO

Exemple : 

Aucun chanteur n'est muet 

Or quelques acteurs sont muets,

donc quelques acteurs ne sont pas chanteurs. 

Diagramme 

2.2/ Cesare

Mode : EAE

Exemple : 

Aucune boulangerie ne vend des dés à coudre,

or, toutes les merceries vendent des dés à coudre,

donc aucune mercerie n'est une boulangerie

Diagramme 

2.3/ Camestres

Mode : AEE

Exemple : 

Tous les capitalistes sont riches

or, aucun ouvrier n'est riche

donc aucun ouvrier n'est un capitaliste

Diagramme

2.4/ Baroco

Mode : AOO

Exemple : 

Tous les capitalistes sont riches

or, quelques patrons ne sont pas riches

donc quelques patrons ne sont pas capitalistes

Diagramme

Les six syllogismes de la troisième figure

3.1/ Bocardo

Mode : AOO

Exemple : 

Quelques parisiens n'ont pas de voiture,
or, tous les parisiens doivent se déplacer,
donc quelques personnes qui doivent se déplacer n'ont pas de voiture.

Diagramme

3.2/ Darapti

Mode : AAI

Exemple : 

Tous les coiffeurs sont mal coiffés,
or tous les coiffeurs savent bien coiffer,
donc quelques personnes qui savent bien coiffer sont mal coiffées.

Diagramme

3.3/ Datisi

Mode : AII

Exemple : 

Tous les coiffeurs savent bien coiffer
or quelques coiffeurs sont myopes  
donc quelques personnes myopes savent bien coiffer.

Diagramme

3.4/ Disamis

Mode : IAI

Exemple : 

Quelques amandiers donnent des fruits amers
or tous les amandiers appartiennent au genre prunus
donc quelques prunus donnent des fruits amers.

Diagramme

3.5/ Felapton

Mode : EAO

Exemple : 

Aucun corbeau ne sait parler,
or les corbeaux sont des êtres vivants,
donc quelques êtres vivants ne savent pas parler.

Diagramme

3.6/ Ferison

Mode : EIO

Exemple : 

Aucun raciste n'est intelligent,
or quelques racistes sont français
donc quelques Français ne sont pas intelligents.

Diagramme

Les cinq syllogismes de la quatrième figure

4.1/ Bamalip

Mode : AAI

Exemple : 

Tous les Martiens sont verts
or tous les êtres vivants verts ont trois jambes
donc quelques êtres à trois jambes sont des Martiens. 

Diagramme

4.2/ Camenes (mode AEE)

Exemple : 

Tous les Martiens sont verts
or, aucun être vivant vert n'est borgne
donc aucun borgne n'est un Martien. 

Diagramme

4.3/ Dimatis

Mode : IAI

Exemple : 

Quelques politiciens sont corrompus,
or un homme corrompu est une crapule,
donc quelques crapules sont des politiciens.

Diagramme

4.4/ Fesapo

Mode : EAO

Exemple : 

Aucune casserole n'est une poêle,
or une poêle est un ustensile de cuisine,
donc quelques ustensiles de cuisine ne sont pas des casseroles.

Diagramme

4.5/ Frerison (mode EIO)

Exemple : 

Aucune pomme n'est une poire,
or quelques poires sont véreuses, 
donc quelques fruits véreux ne sont pas des pommes.

Diagramme

Lorsqu'on est confronté à un raisonnement qui a l'allure d'un syllogisme et que l'on veut démontrer que c'est un syllogisme valide, on peut vérifier s'il appartient à un des 19 modes qui viennent d'être décrits.

Mais, faute de pouvoir retenir la liste des ces 19 syllogismes, il est possible de démontrer la validité (ou la non-validité) par des méthodes qu'Aristote appelait "réduction de modes imparfaits".

Pour Aristote les modes parfaits étaient les 4 modes de la première figure, c'est-à-dire les modes dans lesquels le terme moyen est en position de sujet dans la première prémisse et de prédicat dans la seconde. Les autres modes étaient dits imparfaits.

Le mot "réduction" doit se comprendre comme "démonstration". Il s'agit, les deux prémisses étant données, de démontrer que la conclusion est vraie, donc que le syllogisme est valide.

Rappelons enfin, avant d'entrer dans le vif du sujet, que les 4 modes parfaits sont :

• Barbara : tout M est P, or tout S est M, donc tout S est P;
• Celarent : aucun M n'est P, or tout S est M, donc aucun S n'est P;
• Darii : tout M est P, or quelque S est M, donc quelque S est P;
• Ferio : aucun M n'est P, or quelque S est M, donc quelque S n'est pas P.

Pour réduire un syllogisme quatre méthodes sont envisageables (qui peuvent se cumuler) :

1°/ Transformer une proposition universelle négative en une universelle négative équivalente ou une particulière affirmative en une particulière affirmative équivalente

La proposition : "aucun A n'est B" peut être remplacée par "aucun B n'est A" qui lui est équivalente puisque les deux ensembles A et B sont disjoints :

La proposition "quelques A sont B peut être remplacée par la proposition équivalente "quelques B sont A" puisque les deux "quelques appartiennent à l'intersection des ensembles A et B :

Exemple : on veut réduire le syllogisme imparfait Ferison suivant :

• Aucun raciste n'est intelligent,
• or quelques racistes sont français
• donc quelques Français ne sont pas intelligents.

On remplace la deuxième prémisse par son équivalente :

• Aucun raciste n'est intelligent,
• or quelques Français sont racistes,
• donc quelques Français ne sont pas intelligents.

On reconnaît le mode parfait Ferio : le syllogisme est valide.

2°/ Transformer une proposition universelle affirmative par une proposition particulière affirmative :

La proposition "Tout A est B" induit obligatoirement "quelques A sont B" :

Exemple : On veut réduire le syllogisme imparfait Fesapo suivant :

• Aucune casserole n'est une poêle,
• or toutes les poêle sont des ustensiles de cuisine,
• donc quelques ustensiles de cuisine ne sont pas des casseroles.

On applique la méthode 1 à la deuxième prémisse :

• Aucune casserole n'est une poêle
• or quelques ustensiles de cuisines sont des poêles,
• donc quelques ustensiles de cuisine ne sont pas des casseroles.

On n'est pas encore arrivé à un mode parfait puisque le terme moyen "poêle" est en position de prédicat dans la première prémisse. On applique donc la première méthode à cette première prémisse.
• Aucune poële n'est une casserole,
• or quelques ustensiles de cuisines sont des poêles,
• donc quelques ustensiles de cuisine ne sont pas des casseroles.

On reconnaît le mode parfait Ferio : le syllogisme est valide.

3°/ Inverser les deux prémisses : 

La validité de cette méthode est évidente car la position des deux prémisses n'a aucune influence sur la conclusion. C'est d'ailleurs pour cette raison qu'Aristote n'a pas étudié les syllogismes de la quatrième figure, considérant qu'ils se déduisaient automatiquement de la première.

Exemple : On veut réduire le syllogisme imparfait Camestres suivant :

• Tous les capitalistes sont riches,
• or, aucun ouvrier n'est riche,
• donc aucun ouvrier n'est un capitaliste.

On applique la première méthode à la seconde prémisse :

• Tous les capitalistes sont riches,
• or, aucune personne riche n'est un ouvrier
• donc aucun ouvrier n'est un capitaliste.

On permute les deux prémisses (méthode 3) :

• Aucune personne riche n'est un ouvrier
• or, tous les capitalistes sont riches,
• donc aucun ouvrier n'est un capitaliste.

On reconnaît le syllogisme parfait Celarent : le syllogisme est valide.

4°/ Raisonner par l'absurde :

Cette méthode est différente des autres car elle ne consiste pas à se ramener à un syllogisme parfait mais à démontrer que la conclusion est vraie. Elle consiste à essayer de démontrer la conclusion contraire et à conclure qu'on arrive à une contradiction ou à une absurdité.

En d'autres termes, si je montre que la proposition "A est B" est absurde, alors je peux en conclure que "A n'est pas B" car en logique classique (aristotélicienne), A ne peut que "être" ou"ne pas être". Il n'en est pas de même en logique floue, mais ceci est un autre sujet non abordé dans cet article.

Exemple : on veut démontrer le syllogisme Baroco suivant :

• Tous les capitalistes sont riches
• or, quelques patrons ne sont pas riches
• donc quelques patrons ne sont pas capitalistes.

Supposons que la conclusion ne soit pas vraie : s'il n'est pas vrai que "quelques patrons ne sont pas capitalistes", cela signifie que "tout patron est capitaliste" et j'aurais donc le syllogisme suivant :

• Tous les capitalistes sont riches
• or, quelques patrons ne sont pas riches
• donc tous les patrons sont capitalistes.

Il y a manifestement une contradiction entre la seconde prémisse et la conclusion puisque si "tous les patrons sont capitalistes", alors, compte-tenu de la première prémisse "tous les patrons sont riches" ce qui contredit la seconde prémisse.  La conclusion ne peut être que " quelques patrons ne sont pas capitalistes".