NOTIONS ÉLÉMENTAIRES DE GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE - PARTIE 1 : POINTS ET DROITES

La géométrie descriptive est une branche de la géométrie inventée par le mathématicien Gaspard Monge (1746 – 1818). Il s’agit d’une représentation en deux dimensions d’un corps à trois dimensions par le biais d’une projection horizontale et d’une  projection frontale. Elle a été (et reste sans doute) utilisée en chaudronnerie et dans d’autres techniques industrielles. Toutefois on peut dire que c’est un aspect de la géométrie qui est « mort-né » car très rapidement, à partir du XX° siècle l’utilisation des programmes de dessin assisté par ordinateur l’a rendu partiellement obsolète. Elle reste toutefois, me semble-t-il, utilisée en chaudronnerie et en architecture. Elle était jadis (dans les années 1970) enseignée dans les écoles d’ingénieur (en France), en particulier à l’École Nationale Supérieure des Arts et Métiers, mais j’ignore si elle l’est toujours. Quoi qu’il en soit c’est une discipline extrêmement pédagogique qui permet de développer le sens de la vision dans l’espace et nécessite beaucoup de rigueur dans la construction des épures. Sauf exception signalée, toutes les illustrations de cet article sont issues de l’ouvrage « Géométrie descriptive, ed. Delagrave, 1960) ».

Gaspard Monge

Principes de base

Soit un objet à 3 dimensions dans l’espace. On imagine en un lieu quelconque de l’espace deux plans perpendiculaires : un plan vertical et un plan horizontal Ces deux plans ont une intersection qui est une droite horizontale que l’on appellera la ligne de terre xy. Ces deux plans partagent l’espace en 4 dièdres, comme indiqué sur la figure qui suit, et on suppose qu’un observateur se trouve debout face au plan vertical et regarde ce plan.

Observateur et partage de l'espace

Le principe de base de la géométrie descriptive est de projeter l’objet étudié sur chacun de ces deux plans et de représenter les deux projections obtenues sur un plan unique qui comprend deux demi-plans :

• En dessous de la ligne de terre le demi-plan horizontal sur lequel l’observateur est debout.
• Au dessus de la ligne de terre le demi-plan vertical qui lui fait face.

Dans ce qui suit on appelle "épure" cette représentation obtenue par les méthodes de la géométrie descriptive.

Remarque : la position de l’observateur, sous réserve qu’il soit dans la position indiquée plus haut, n’a aucune importance pour le tracé.

La représentation basique (mais fondamentale) est celle du point.

Imaginons un point M de l'espace. Il se projette horizontalement en m’ sur le plan vertical et verticalement en m sur le plan horizontal.

Remarque : il est d’usage de réserver les lettres majuscules aux points de l’espace, les minuscules accentuées aux projections frontales et les minuscules non accentuées aux projections horizontales.

On effectue une rotation de 90° du plan vertical sur le plan horizontal dans le sens de numérotation des dièdres. Le point m’ se rabat comme indiqué ci-dessous :

Le plan qui, dans l’espace, est le plan horizontal et qui contient les projections m et m’ (rabattue) du point M constitue l’épure de géométrie descriptive du point M. Le plan qui, dans l’espace, est le plan horizontal et qui contient les projections m et m’ (rabattue) du point M constitue l’épure de géométrie descriptive du point M. C’est-à-dire que désormais on va travailler en deux dimensions à partir des projections et qu’on ne fera plus appel à des représentations (obligatoirement déformées) des objets de l’espace à 3 dimensions. Dans certaines figures nous conserverons toutefois cette représentation à 3 dimensions pour des raisons pédagogiques.

Epure du point M en géométrie descriptive : m et m'

Le segment m m', perpendiculaire en i à la ligne de terre xy est appelé "ligne de rappel".

En conséquence : pour que deux points d'une épure soient la représentation d'un point réel de l'espace, il faut et il suffit qu'ils soient situés sur une même ligne de rappel.

La valeur algébrique de la longueur du segment im est appelé « éloignement ». Elle est positive si m est en dessous de la ligne de terre ; négative dans le cas contraire. 

On a les mêmes conventions pour le segment im’, appelé cote, positive si m’ est au dessus de la ligne de terre et négative dans le cas contraire.

Les droites en géométrie descriptive

Généralement (mais nous verrons qu’il y a des exceptions), une droite passant par deux points A et B a une épure constituée, à la fois dans le plan frontal et dans le plan horizontal, par une droite. La projection frontale passe par les projections a’ et b’ de A et B et la projection horizontale par les projections horizontales a et b de A et B.

Epure d'une droite passant par les points A et B

Certaines droites, en raison de leur position dans l’espace ne peuvent être représentées de cette manière, par exemple les droites perpendiculaires aux plans de projection, c’est-à-dire les droites horizontales ou verticales. Les épures sont alors les suivantes :

Droite verticale et droite horizontale

Un cas particulier à signaler est celui des droites dite « de profil ». Ces droites sont perpendiculaires à la ligne de terre xy, c’est-à-dire qu’elles appartiennent à un plan perpendiculaire à la ligne de terre. Il est clair que, dans ce cas, les deux projections sont alignées sur l’épure :

Droite de profil

Les droites de profil peuvent pose divers problèmes au dessinateur. Supposons par exemple que l’on souhaite dessiner l’épure d’un point appartenant à une droite donnée. Si la droite est quelconque ça ne pose aucun problème. Connaissant l’une des projections du point sur l’une des projections de la droite, la seconde projection se trouve à l’intersection de la ligne de rappel correspondante avec la seconde projection de la droite.

Dessiner un point sur une droite (cas général)

On comprend que cette méthode ne peut pas s'appliquer pour une droite de profil puisqu'on ne peut trouver d'intersection avec la projection verticale de la droite.

On a alors recours à une méthode très utilisée en géométrie descriptive : un changement de plan frontal.

Changement de plan frontal

Un changement de plan frontal consiste, sans changer la position du plan horizontal ni celle de l’observateur, à modifier la position du plan vertical de manière à ce que certains éléments qui sont initialement inaccessibles pour l’épure deviennent opérationnels.

Lorsqu’on effectue un changement de plan frontal :

• La position de la projection horizontale d’un point est inchangé (mais son éloignement est modifié).
• La position de la projection verticale d’un point change (c’est même le but de la méthode) mais sa cote ne change pas.

Il va de soi que le changement de plan frontal modifie la position de la ligne de terre qui devient, dans la figure ci-dessous, la droite x1y1;

Changement de plan frontal

Dans le cas qui nous occupait plus haut (prendre un point sur une droite de profil), il est commode (mais non obligatoire) de choisir un nouveau plan frontal parallèle à ab. On a alors la construction suivante :

Prendre un point sur une droite de profil par changement de plan frontal

Intersection de deux droites

Dans un espace à deux dimensions, deux droites peuvent être parallèles (et dans ce cas elles n’ont pas de point d’intersection) ou concourantes (un point d’intersection).
Dans un espace à trois dimensions deux droites peuvent être parallèles, concourantes ou ne pas avoir d’intersection (aucun point commun).


Pour que deux droites de l’espace soient concourantes, il faut et il suffit que leurs traces horizontales et verticales soient concourantes et que les points d’intersection de ces deux traces soient situées sur une même ligne de rappel (dans le cas de droites quelconques).

La figure ci-dessous illustre le cas de deux droites concourantes et deux exemples de droites non concourantes.

Droites concourantes et non concourantes

Traces d'une droite

On appelle "traces" d'une droite ses deux intersections (lorsqu'elles existent) avec les plans de projection.

Une droite qui a une intersection avec le plan horizontal a une cote nulle. Sa projection frontale est donc située sur la ligne de terre. 

De même :  Une droite qui a une intersection avec le plan vertical a un éloignement nul nul. Sa projection frontale est donc située sur la ligne de terre.

Il en résulte que (dans le cas de droites quelconques ne présentant pas de propriétés particulières), il est extrêmement facile de dessiner l'épure des traces U et V :

Traces d'une droite

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Nous avons donné ici l'essentiel de ce qu'il faut savoir sur la géométrie descriptive appliquée au point et à la droite. Dans un prochain article nous donnerons quelques compléments sur la droite et examinerons les problèmes relatifs au plan.