UNE MÉTHODE ORIGINALE POUR TROUVER EXPÉRIMENTALEMENT UNE APPROXIMATION DU NOMBRE PI : L'AIGUILLE DE BUFFON

Georges-Louis Leclerc, comte de Buffon (1707-1788), est un scientifique français qui fut à la fois naturaliste, mathématicien, philosophe et écrivain. Il a imaginé un processus expérimental permettant de calculer une approximation du nombre π (pi) à partir de tirages aléatoires d’une aiguille sur un plancher. Cette méthode a essentiellement un intérêt historique car on connaît aujourd’hui, grâce aux méthodes modernes de calcul et à la puissance des ordinateurs, des millions de décimales de π. Elle a toutefois, outre son intérêt pédagogique, voire ludique, le mérite d’être à la source des méthodes dites de Monte-Carlo, méthodes probabilistes qui permettent l’approximation de données non appréhendables par le calcul.

La méthode est la suivante :

• On dispose d’un plancher constitué par des planches rectangulaires de largeur égale à L.
• On jette aléatoirement sur ce plancher une aiguille de longueur a. L’adverbe « aléatoirement » signifie ici que le « lanceur » de l’aiguille ne vise aucun point particulier mais veille à diversifier la direction de ses lancers.

On suppose que l’aiguille a une longueur inférieure ou égale à la largeur des planches, c’est-à-dire que lorsqu’elle est tombée sur le plancher elle peut chevaucher (ou toucher par l'une de ses extrémités) une rainure au maximum ou aucune.

On effectue un très grand nombre de lancers et on compte le nombre de cas dits « favorables », c’est-à-dire le nombre de fois où l’aiguille a chevauché ou touché une rainure.

Si le nombre de lancers est grand, la loi des grands nombres indique que la fréquence de réussite (nombre de lancers favorables divisé par le nombre total de lancers) représente la probabilité P de réussite.

Or le calcul  (qui n’est pas très simple) montre que cette probabilité P est égale à :

P = 2A/ πL, soit π = 2A/LP

On a donc trouvé ainsi une approximation de la valeur de π.

Malheureusement la méthode n'est pas très efficace. Pour obtenir une approximation correcte il faut effectuer un très grand nombre de lancers.

Une simulation informatique montre qu’avec 90 000 lancers on a 95% de probabilité d’obtenir la valeur approchées 3,142  (alors que la valeur exacte des premières décimales est  π = 3,141 592 653 589 …).