PROBLÈME D'ARITHMÉTIQUE : DEUX NOMBRES PREMIERS ENTRE EUX ET AYANT CHACUN 2017 DIVISEURS

Un problème d'arithmétique facile si on a quelques souvenirs des cours du lycée !

Trouver deux nombres entiers positifs différents ayant chacun exactement 2017 diviseurs (y compris le nombre lui-même et 1) et tels que ces deux nombres soient premiers entre eux. 

On ne demande pas de fournir de les nombres eux-mêmes mais la méthode pour les obtenir. Et bien entendu il ne suffit pas de trouver une solution par hasard !

SOLUTION DU PROBLEME : "UNE EQUATION AVEC OU SANS SOLUTIONS"

Ce problème a été publié sur ce blog ici.

Je rappelle l'énoncé :
L'équation : 12x + 9y = 27 admet-elle au moins une paire de solution x,y avec x et y entiers (positifs ou négatifs) ?

EQUATION AVEC OU SANS SOLUTIONS ?

Le problème est le suivant : 

L'équation : 12x + 9y = 27 admet-elle au moins une paire de solution x,y avec x et y entiers (positifs ou négatifs) ?

Remarque : la question posée n'est pas de trouver des solutions mais de prouver qu'il en existe au moins une (ou qu'il n'en existe pas). "Prouver" signifie "démontrer". Il ne suffit donc pas de chercher au hasard un couple xy solution de l'équation mais de démontrer qu'un tel couple existe (ou n'existe pas).

SOLUTION DU PROBLÈME D'ARITHMÉTIQUE : DEUX NOMBRES PREMIERS ENTRE EUX ET AYANT CHACUN 2017 DIVISEURS

Ce problème est simple si l'on se souvient d'une propriété arithmétique que les élèves des sections scientifiques des lycées doivent (en principe) connaître :

Soit N un nombre entier positif. On sait qu'il existe une décomposition (et une seule) de ce nombre en facteurs premiers :

N = p₁^a1.p₂^a2. ..p_n^an

Le nombre T de diviseurs de N est égal à :

T = (a1+1).(a2+1) ...(an+1).

LES PROBLEMES DITS "DE LOGIQUE"

On trouve assez souvent sur les réseaux sociaux des problèmes que j’appelle ici « de logique » bien que le terme me semble impropre. J’en donne ci-dessous un exemple trouvé récemment sur un réseau et qui était présenté de la manière suivante :