Ce problème est simple si l'on se souvient d'une propriété arithmétique que les élèves des sections scientifiques des lycées doivent (en principe) connaître :
Soit N un nombre entier positif. On sait qu'il existe une décomposition (et une seule) de ce nombre en facteurs premiers :
N = p1a1.p2a2. ..pnan
Le nombre T de diviseurs de N est égal à :
T = (a1+1).(a2+1) ...(an+1).
Prenons un exemple simple pour illustrer cette propriété. Supposons que l'on cherche le nombre de diviseur du nombre entier 36.
La décomposition de 36 en facteurs premiers est :
2^^2.3^^2
a1 =2
a2 = 2
T = (2+1).(2+1) = 9
Effectivement le nombre 36 a exactement 9 diviseurs entiers qui sont :
1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 36
Il est donc facile de trouver des nombres entiers qui ont un nombre de diviseurs donné. Les deux qui suivent répondent à l'énoncé du problème :
N1 = 2^^2016 (2 puissance 2016)
N2= 3 ^^2016 (3 puissance 2016)
En effet :
- N1 et N2 ont exactement 2017 diviseurs. Par exemple : N1 a pour diviseurs 1 et les 2016 premières puissances de 2 .
- N1 et N2 sont différents puisqu'ils n'ont pas la même décomposition en facteurs premiers.
- N1 et N2 sont premiers entre eux puisqu'ils n'ont aucun diviseur commun autre que 1 (aucune puissance de 2 n'est divisible par une puissance de 3).
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