DEUX OBJETS MATHÉMATIQUES PEU CONNUS : PRIMORIELLE ET NOMBRE HAUTEMENT COMPOSÉ

Rappelons d'abord qu'un nombre premier est un nombre qui n'admet que deux diviseurs : 1 et lui-même. Par exemple, 13 est un nombre premier car il n'est divisible que par 1 et par 13. A contrario 21 n'est pas un nombre premier puisqu'il a 4 diviseurs : 1,3,7,21. Le chiffre 1 n'est pas premier car il n'admet qu'un seul diviseur :1. Zéro n'est pas premier car il est divisible par tous les nombres. Le plus petit nombre premier est 2 et c'est le seul nombre premier pair. En effet, tous les autres nombres pairs admettent au moins 3 diviseurs : 1, 2 et le nombre lui-même. Il a été démontré par Euclide qu'il existe une infinité de nombres premiers. La méthode la plus ancienne pour trouver des nombres premiers est le crible d'Eratosthène.

La primorielle d'un nombre entier n, notée P(n) ou n#, est le produit de tous le nombres premiers inférieurs ou égaux à n.
Par exemple : 
P(5) = 1x2x3x5 = 30

n P(n)

2 2
3 6
5 30
7 210
11 2 310
13 30 030
17 510 510
19 9 699 690
23 223 092 870
29 6 469 693 230
31 200 560 490 130
37 7 420 738 134 810

Ne pas confondre avec la factorielle d'un nombre n, notée n! qui est égale au produit de tous les nombres (qu'ils soient premiers ou pas) inférieurs à n.

Un nombre hautement composé est un nombre qui a plus de diviseurs que tout entier qui lui est inférieur.
Il en résulte qu'un nombre est hautement composé s'il a plus de diviseurs que le plus grand nombre hautement composé qui le précède.

Exemples :

• Le nombre 2 a deux diviseurs (1 et 2), soit un de plus que 1 : c'est un nombre hautement composé ;
• Le nombre 3 a 2 diviseurs (3 et 2) : ce n'est pas un nombre hautement composé puisqu'il a autant de diviseurs que 2 ; 
• Le nombre 4 a 3 diviseurs (1, 2, 4) : c'est un nombre hautement composé puisqu'il a un diviseur de plus que 2 ;
• Le nombre 5 n'a que deux diviseurs (c'est un nombre premier). Ce n'est pas un nombre hautement composé ;
• Le nombre 6 a 4 diviseurs (1, 2, 3 et 6). c'est un nombre hautement composé puisqu'il a un diviseur de plus que 4,
• etc.

source : villemin