APPROCHE MATHÉMATIQUE DE LA TRANSFORMATION D'UN ESSAI AU RUGBY

Au rugby à XV, si un joueur arrive à aplatir le ballon derrière la ligne de but adverse, son équipe marque 5 points. Un joueur de cette équipe doit ensuite essayer de transformer l'essai pour marquer 2 points supplémentaires. Pour cela le ballon est posé à terre sur la perpendiculaire à la ligne de but passant par le point où l'essai a été marqué, et le joueur doit l'envoyer entre les poteaux et au-dessus de la barre transversale. L'originalité de cette règle, et ce qui fait l'objet de cet article, est que le ballon peut-être placé n'importe où sur cette perpendiculaire. Il faut rechercher une position qui ouvre au maximum l'angle de tir, sans être trop éloignée pour ne pas perdre en puissance et précision. Compte-tenu de ces deux contraintes, où faut-il placer le ballon ?

source de l'illustration : http://www.bdlive.co.za/incoming/2014/01/24/rugby-xxx1/ALTERNATES/crop_400x250/Rugby+xxx

On suppose que l'essai est marqué sur  perpendiculaire à la ligne de but située à L mètre d'un des poteaux (mais pas entre les poteaux). . La distance réglementaire entre les deux poteaux est de 5m60. 

Ou, sous une forme plus géométrique :

Le problème est de trouver la valeur de x et de calculer la probabilité de réussir la transformation. 

Remarque : on raisonne en projection sur le plan horizontal, ce qui signifie qu'on néglige les petites variations de distance et d'angle liées au fait que le ballon doit passer au dessus de la barre transversale, c'est-à-dire 3m au dessus du sol. Ce point aura toutefois une importance pratique dans le cas particulier envisagé à la fin de cet article.

a et x sont liés par la relation :

a = arc (tg ((L+5,6)/x)) - arc(tg(L/x)

Exemples
Sachant qu'un terrain de rugby a une largeur réglementaire de 70 m, considérons les courbes correspondant à :

L=0 : essai marqué au droit d'un poteau ,
L= 8 m : essai marqué à peu près au quart de la distance entre le poteau et le coin de l'aire de jeu,
L= 16 m : essai marqué à peu près au milieu de la distance entre le poteau et le coin de l'aire de jeu,
L = 24 m : essai marqué à peu près au 3/4 de la distance entre le poteau et le coin de l'aire de jeu,
L = 32 m : essai marqué à peu près dans un coin du terrain de jeu.

Nous arrivons maintenant au point crucial de la démonstration : nous allons construire une table de la probabilité de réussir la transformation en fonction de l'angle a. Cette table est empirique et résulte de ce que l'on constate dans les matchs réels. Il est clair qu'un joueur de rugby professionnel trouvera certainement des critiques à faire à cette table, mais elle est suffisamment crédible pour nous servir d'exemple. On peut supposer qu'elle s'applique à un bon buteur.

angle a	30° à 20°	20° à 10 °	10° à 7°	7° à 5°	5° à 3 °	< 3°
probabilité	0,95	0,8	0,5	0,2	0,05	0,01

Soit, en transformant ce graphe en courbe de tendance :

Applications

1°/ Supposons que l'essai soit marqué sur une perpendiculaire à la ligne de but à une distance L = 12 m du poteau le plus proche. La courbe L(x) est la suivante :

La position la plus favorable se situe à x = 18m environ, ce qui correspond à un angle a=11 m. La probabilité de marquer l'essai sera de l'ordre de 80%.

2°/ Supposons que l'essai soit marqué sur une perpendiculaire à la ligne de but à une distance L = 25 m du poteau le plus proche. La courbe L(x) est la suivante :

Le buteur devra placer le ballon à 30 m. L'angle correspondant est légèrement inférieur à 6°. Il aura environ 5 chances sur 10 de transformer l'essai.

Cas particulier : la perpendiculaire au point d'essai passe entre les poteaux :

On a : a = arc(tg(D/x) + arc (tg ((5,6-D)/x)

Pour D=0 :

Pour D = 5,6/2 = 2,8 m :

On voit que dans tous les cas le buteur peut théoriquement placer le ballon entre 0 et 18 m environ pour avoir 95% de chances de transformer l'essai. Dans la pratique des distances trop courtes sont défavorables pour donner au ballon une trajectoire passant au-dessus de la barre transversale. On observe généralement que le ballon est placé aux alentours de 15 m.