Dans un article précédent, j'ai abordé les notions élémentaires de géométrie descriptive concernant le point et la droite. Cet article sera essentiellement consacré au plan. Sauf exception signalée (c'est le cas pour la figure qui sert d'en-tête à cet article), toutes les illustrations sont issues de l’ouvrage « Géométrie descriptive, ed. Delagrave, 1960) ».
En géométrie descriptive il existe trois représentations principales de l'épure d'un plan :
 |
| Perpendiculaire à un plan donné, passant par un point donné. Source : "Géométrie descriptive - Du point aux surfaces de révolution et aux ombres", Alain Faure, ed. ellipses, 2009 |
En géométrie descriptive il existe trois représentations principales de l'épure d'un plan :
- Représentation par ses traces.
- Représentation par deux droites principales
- Représentation par deux droites concourantes.
1°/ Représentation d'un plan par ses traces :
On appelle traces d'un plan les droites d'intersection de ce plan avec les deux plans de projection (le plan horizontal et le plan vertical). Pour un plan qui n'a pas de propriétés spéciales (non parallèle à la ligne de terre ou ne contenant pas cette ligne) il s'agit donc des droites (P) et (Q) représentées ci-dessous :
 |
| Traces (P) et (Q) du plan π |
Et l'épure correspondante est la suivante :
La trace (P) est une droite du plan de projection horizontal, comme le montre le fait que la projection verticale P' est confondue avec la ligne de terre. On appelle "horizontale d'un plan" toutes les droites parallèles à (P).
La trace (Q) est une droite du plan de projection frontal, comme le montre le fait que la projection verticale Q' est confondue avec la ligne de terre. On appelle "frontale d'un plan" toutes les droites parallèles à (Q).
Les deux projections P et Q' sont concourantes en un point α α' de la ligne de terre. En effet, si le plan est quelconque, il existe obligatoirement un point d'intersection avec la ligne de terre, c'est-à-dire un point commun aux deux projections P et Q'.
Si le plan est parallèle à la ligne de terre xy, on a la disposition suivante (dans l'espace et épure):
Enfin, si le plan π contient la ligne de terre xy on ne peut pas construire ses traces car elles sont confondues avec la ligne de terre:
2°/ Représentation d'un plan par ses droites principales :
Ceci ne concerne que des plans qui ne sont pas parallèles à la ligne de terre.
On appelle droites principales d'un plan un couple formé par une horizontale et une frontale quelconques de ce plan. Ces droites sont obligatoirement sécantes.
3°/ Représentation d'un plan par deux droites sécantes quelconques:
Dans la théorie, et dans la pratique, la méthode ne pose pas de problème (si les plans et les droites sont quelconques). La géométrie nous enseigne que deux droites sécantes sont contenues dans un plan, et un seul. On sait dessiner l'épure d'une droite (cf. article cité plus haut), donc celle de deux droites sécantes. On sait donc définir un plan de cette manière. Un problème moins immédiat est de trouver les traces d'un plan ainsi défini . C'est le problème que nous traitons ci-dessous, tout d'abord dans le cas de deux droites principales.
Traces d'un plan défini par deux droites principales
Soit un plan défini par deux droites principales : une horizontale H, H' et une frontale F, F'.
La trace frontale Q, Q' du plan est parallèle à F, F' puisqu'il s'agit de deux frontales d'un même plan. Il suffit donc de construire un point de la droite (F), puis d'en déduire la trace comme étant la frontale passant par ce point, c'est-à-dire la parallèle à (F) passant par ce point. Or, on connaît un point remarquable de (F) : son intersection avec la ligne de terre. On peut donc dessiner la trace frontale Q, Q'. Or cette trace a un point commun avec la trace horizontale sur la ligne de terre. A partir de ce point commun, noté α α' sur l'épure ci-dessous, on peut dessiner la trace horizontale P, P' en tirant une parallèle à H,H'.
Traces d'un plan défini par deux droites sécantes
Puisque la trace horizontale d'un plan est l'ensemble des projections horizontales de tous les points de toutes les droites du plan, on obtiendra cette trace P, P' en joignant les points de cette droite qui coupent la ligne de terre. Pour obtenir la trace frontale il suffi de joindre le point α α' au point coupant la ligne de terre d'une quelconque de ces droites données.
Plans particuliers
Plan vertical (mais non frontal)
La trace frontale d'un plan vertical est perpendiculaire à la ligne de terre. C'est une condition nécessaire et suffisante :
Plan de bout (mais non horizontal)
Il s'agit d'un plan dont la trace horizontale est perpendiculaire à la ligne de terre. Il s'agit là aussi d'une condition nécessaire et suffisante.
Plan de front :
Cas particulier d'un plan vertical : sa trace horizontale est parallèle à la ligne de terre. Il n'a pas de trace frontale :
Remarque : le rectangle contenu dans le plan de front n'est pas utile à la construction. Il figure pour montrer que les surfaces se projettent en grandeur réelle sur le plan de projection frontal.
Plan horizontal :
Cas particulier d'un plan vertical : sa trace frontale est parallèle à la ligne de terre. Il n'a pas de trace horizontale :
Remarque : le triangle contenu dans le plan de horizontal n'est pas utile à la construction. Il figure pour montrer que les surfaces se projettent en grandeur réelle sur le plan de projection horizontal.
Plan de profil :
Un plan de profil est à la fois vertical et de bout, car il est perpendiculaire à la ligne de terre. Ses deux traces sont alignées (erratum signalé sur l'épure) :
Résumé concernant les plans particuliers
Rabattement d'un plan vertical sur un plan horizontal
Soit un plan vertical donné (V) sur l'illustration, défini par sa trace horizontale V.
Soit un plan horizontal (Hr) quelconque défini par sa trace frontale. Soit ZT la droite d'intersection de ces deux plans. Le rabattement consiste à faire pivoter le plan V autour de ZT, de manière à ce qu'il coïncide vec le plan horizontal (Hr).
L'intérêt du rabattement est que toutes les figures qui se trouvent dans le plan vertical (V) sont maintenant représentées en vraie
grandeur sur le plan (Hr), donc sur son épure.
Un point quelconque M de (V) se rabat en M1, lequel se projette en M.
La règle générale est la suivante et se comprend aisément en étudiant la figure qui suit : dans le rabattement d'un plan vertical sur un plan horizontal, le rabattement d'un point se projette :
Ceci ne concerne que des plans qui ne sont pas parallèles à la ligne de terre.
On appelle droites principales d'un plan un couple formé par une horizontale et une frontale quelconques de ce plan. Ces droites sont obligatoirement sécantes.
3°/ Représentation d'un plan par deux droites sécantes quelconques:
Dans la théorie, et dans la pratique, la méthode ne pose pas de problème (si les plans et les droites sont quelconques). La géométrie nous enseigne que deux droites sécantes sont contenues dans un plan, et un seul. On sait dessiner l'épure d'une droite (cf. article cité plus haut), donc celle de deux droites sécantes. On sait donc définir un plan de cette manière. Un problème moins immédiat est de trouver les traces d'un plan ainsi défini . C'est le problème que nous traitons ci-dessous, tout d'abord dans le cas de deux droites principales.
Traces d'un plan défini par deux droites principales
Soit un plan défini par deux droites principales : une horizontale H, H' et une frontale F, F'.
La trace frontale Q, Q' du plan est parallèle à F, F' puisqu'il s'agit de deux frontales d'un même plan. Il suffit donc de construire un point de la droite (F), puis d'en déduire la trace comme étant la frontale passant par ce point, c'est-à-dire la parallèle à (F) passant par ce point. Or, on connaît un point remarquable de (F) : son intersection avec la ligne de terre. On peut donc dessiner la trace frontale Q, Q'. Or cette trace a un point commun avec la trace horizontale sur la ligne de terre. A partir de ce point commun, noté α α' sur l'épure ci-dessous, on peut dessiner la trace horizontale P, P' en tirant une parallèle à H,H'.
Traces d'un plan défini par deux droites sécantes
Puisque la trace horizontale d'un plan est l'ensemble des projections horizontales de tous les points de toutes les droites du plan, on obtiendra cette trace P, P' en joignant les points de cette droite qui coupent la ligne de terre. Pour obtenir la trace frontale il suffi de joindre le point α α' au point coupant la ligne de terre d'une quelconque de ces droites données.
Plans particuliers
Plan vertical (mais non frontal)
La trace frontale d'un plan vertical est perpendiculaire à la ligne de terre. C'est une condition nécessaire et suffisante :
Plan de bout (mais non horizontal)
Il s'agit d'un plan dont la trace horizontale est perpendiculaire à la ligne de terre. Il s'agit là aussi d'une condition nécessaire et suffisante.
Plan de front :
Cas particulier d'un plan vertical : sa trace horizontale est parallèle à la ligne de terre. Il n'a pas de trace frontale :
Remarque : le rectangle contenu dans le plan de front n'est pas utile à la construction. Il figure pour montrer que les surfaces se projettent en grandeur réelle sur le plan de projection frontal.
Plan horizontal :
Cas particulier d'un plan vertical : sa trace frontale est parallèle à la ligne de terre. Il n'a pas de trace horizontale :
Plan de profil :
Un plan de profil est à la fois vertical et de bout, car il est perpendiculaire à la ligne de terre. Ses deux traces sont alignées (erratum signalé sur l'épure) :
Résumé concernant les plans particuliers
Rabattement d'un plan vertical sur un plan horizontal
Soit un plan vertical donné (V) sur l'illustration, défini par sa trace horizontale V.
Soit un plan horizontal (Hr) quelconque défini par sa trace frontale. Soit ZT la droite d'intersection de ces deux plans. Le rabattement consiste à faire pivoter le plan V autour de ZT, de manière à ce qu'il coïncide vec le plan horizontal (Hr).
L'intérêt du rabattement est que toutes les figures qui se trouvent dans le plan vertical (V) sont maintenant représentées en vraie
grandeur sur le plan (Hr), donc sur son épure.
Un point quelconque M de (V) se rabat en M1, lequel se projette en M.
La règle générale est la suivante et se comprend aisément en étudiant la figure qui suit : dans le rabattement d'un plan vertical sur un plan horizontal, le rabattement d'un point se projette :
- Sur la perpendiculaire menée de la projection du point à la projection de la charnière.
- A une distance de la charnière égale à la différence des cotes du point et de la charnière.
Aucun commentaire :
Enregistrer un commentaire
Vous pouvez ajouter des commentaires.