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| Source de l'illustration |
Soient a et b une paire de fractions irréductibles solutions du problème.
a = r/s
b = p/q
r est premier avec s.
p est premier avec q.
On a (énoncé du problème) : a +b = 2ab,
soit : rq+ps = 2rp
soit : q+ps/r = 2p
soit : s/r = (2p-q)/p
soit : r/s = p/(2p-q)
r/s est, par définition, une fraction irréductible.
Nous allons montrer que la fraction F=p/(2p-q) est également irréductible.
Soit k un diviseur de p différent de 1. Il en existe toujours au moins un (ne serait-ce que p, si p est premier). On a donc :
F = (p/k)/((2p/k) - (q/k))
p/k et 2p/k sont des entiers.
En revanche q/k n'est pas un entier. S'il l'était, cela signifirait que k divise à la fois p et q, donc que la fraction p/q ne serait pas irréductible. En conséquence, le dénominateur de F n'est pas divisible par k : il n'existe pas d'entier k qui divise à la fois le numérateur et le dénominateur de F, donc F est irréductible.
L'égalité r/s = p/(2p-q) est donc une égalité entre deux fractions irréductibles. Or deux fractions irréductibles ne peuvent être égales que si elles sont identiques, c'est-à-dire que leurs numérateurs sont égaux et leurs dénominateurs également (2/3 = 2/3 !).
Il en résulte que r = p et que s = 2p-q.
En conséquence, pour trouver des paires de fractions répondant aux conditions de l'énoncé, il suffit de choisir arbitrairement une fraction irréductible r/s. On en déduit p par p=r et q par :q = 2p-s.
Exemple :
On choisit arbitrairement r/s, irréductible, r/s = 12/5, donc :
p = 12 et q = 24-5 = 19
La paire de fractions est donc 12/5 et 12/19
On vérifie que :
(12/5) + (12/19) = 288/95 et que (12/5)(12/19) = 144/95
La somme des deux fractions est bien égale au double de leur produit.
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