Le triangle est certainement la figure géométrique la plus connue des écoliers. Malgré sa simplicité apparente, cette figure fourmille de propriétés remarquables qui ont intéressé d'illustres mathématiciens comme Pascal, Euler ou Feuerbach. Cet article présente une de ces particularités : le cercle d'Euler, ou cercle des neuf points.
Quelques rappels sur le triangle
On appelle médiatrices d'un triangle les 3 droites perpendiculaires à chaque côté en leur milieu. Ces trois droites se coupent en un point O qui est le centre du cercle circonscrit au triangle (cercle passant par les trois sommets du triangle. |
| Médiatrices d'un triangle référence de l'illustration |
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| Médianes d'un triangle référence de l'illustration |
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| Hauteurs d'un triangle référence de l'illustration |
On appelle bissectrices d'un triangle les trois droites qui divisent chacun des trois angles d'un triangle en deux angles égaux. Ces trois droites se coupent en un point I qui est le centre du cercle inscrit au triangle (cercle tangent à chacun des trois côtés).
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| Bissectrices d'un triangle référence de l'illustration |
Cercle d'Euler
Appelons :
- M1, M2 et M3 le milieu des 3 côtés du triangle,
- HI, H2 et H3 le pied de chacune des trois hauteurs,
- E1, E2 et E3 (appelés point d'Euler) le milieu du segment qui joint l'orthocentre H à chacun des trois sommets du triangle.
On démontre la propriété remarquable suivante : ces neuf points sont situés sur un même cercle de centre C appelé cercle d'Euler, ou cercle des neuf points.
On démontre également que ce cercle a un rayon égal à la moitié du rayon du cercle circonscrit de centre O.
On démontre également que ce cercle a un rayon égal à la moitié du rayon du cercle circonscrit de centre O.
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| Cercle d'Euler référence de l'illustration |
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