Je rappelle l'énoncé :
L'équation : 12x + 9y = 27 admet-elle au moins une paire de solution x,y avec x et y entiers (positifs ou négatifs) ?
Ce type d'équations, pour lesquelles on recherche des solutions qui sont des nombres entiers, sont des équations dites "équations diophantiennes".
Il va de soi que si on cherchait des solutions parmi les nombres réels, on en trouverait une infinité. Par exemple : pour x =2, on trouve facilement y = 1/3 (qui n'est pas un nombre entier).
Pour savoir si cette équation diophantienne admet au moins une solution (un couple de nombres entiers (x,y) on utilise le théorème de Bézout qui indique :
"Une équation diophantienne de type : ax + by = c admet au moins une solution si c est un multiple du PGCD (plus grand commun diviseur) de a et b".
Pour l'équation proposée le PGCD de 12 et de 9 est égal à 3. Or 27 est un multiple de 3. Il existe donc au moins un couple de solutions (x,y) avec x et y entiers positifs ou négatifs.
La recherche des solutions fera l'objet d'un autre problème.
L'équation : 12x + 9y = 27 admet-elle au moins une paire de solution x,y avec x et y entiers (positifs ou négatifs) ?
Ce type d'équations, pour lesquelles on recherche des solutions qui sont des nombres entiers, sont des équations dites "équations diophantiennes".
Il va de soi que si on cherchait des solutions parmi les nombres réels, on en trouverait une infinité. Par exemple : pour x =2, on trouve facilement y = 1/3 (qui n'est pas un nombre entier).
Pour savoir si cette équation diophantienne admet au moins une solution (un couple de nombres entiers (x,y) on utilise le théorème de Bézout qui indique :
"Une équation diophantienne de type : ax + by = c admet au moins une solution si c est un multiple du PGCD (plus grand commun diviseur) de a et b".
Pour l'équation proposée le PGCD de 12 et de 9 est égal à 3. Or 27 est un multiple de 3. Il existe donc au moins un couple de solutions (x,y) avec x et y entiers positifs ou négatifs.
La recherche des solutions fera l'objet d'un autre problème.
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