GERNERALIDADES SOBRE LA LOGICA DIFUSA

Discúlpeme, soy francés, no escribo bien su idioma.

La lógica difusa es un método de razonamiento que hace posible tratar problemas cuya declaración no es completamente explícita.
Por ejemplo: si considero el conjunto T de los habitantes de la tierra que son 1m75 o más de 1m75, la definición del todo es inequívoca. Para cada habitante de la tierra puedo decir con certeza si pertenece o no a T. Por  otra parte, si defino otro conjunto S como el conjunto de personas altas, el concepto "gran tamaño" es vago. Puedo decir con certeza que una persona de 2 m pertenece a S; También puedo decir con certeza que una persona de 1m50 no pertenece a S. ¿Pero cómo calificar a un hombre de 1m80? 

Otro ejemplo: puedo decir con agua que hace frío o calor. No me equivocaré si digo:

• que entre 0 ° y 20 ° el agua está fría,
• que entre 60 ° y 100 ° el agua está caliente.

Pero, ¿cómo calificar un agua a 30 ° o 40 °?

introducción

Este artículo utiliza principalmente tres fuentes, que señalaré: fuentes 1, 2 y 3 cuando tendré que citarlas:

• Fuente 1: "Fuzzy logic", Bernadette Bouchon-Meunier, PUF, 2007.
• Fuente 2: "Elementos de la lógica difusa", Louis Gascôgne, Hermes, 1997.
• Fuente 3: "Lógica Difusa - Ejercicios corregidos y ejemplos de aplicaciones", Bernadette Bouchon-Meunier, Laurent Foulloy, Mohammed Ramdani, ed. Cépaduès, 1998, Toulouse.

El principio general de la lógica difusa es cuantificar la proximidad de las zonas intermedias difusas a las zonas de certeza, zona ZC (los términos "zona de certeza" y "zona intermedia" no forman parte del vocabulario utilizado en los libros de texto; me parece más explícito en una introducción, rápidamente presentaré el vocabulario habitual a continuación). El elemento principal en un problema de lógica difusa es una función de membresía, que caracteriza la proximidad de un cierto estado a los ZC. Es esta función que caracteriza el conjunto difuso A del que hablamos. En otras palabras cualquier punto del plano cuyas coordenadas se definen por esta función, pertenece al conjunto difuso A. La función m (x) es siempre entre 0 y 1. Es igual a 0 o 1 cuando el valor x corresponde a un ZC. Puede tomar cualquier otro valor entre 0 y 1 en las zonas intermedias.

¡Se necesita un ejemplo!

Estamos interesados ​​en agua tumblada.
Supongo que entre 25 ° y 30 ° una agua ciertamente puede llamarse "tumblada". Que debajo de 15 ° no es caliente, pero indudablemente fría y que por encima de 50 ° no es caliente pero inconfundiblemente caliente.
En este ejemplo, tengo tres zonas ZC:

• entre 0 ° y 15 ° el agua está fría,
• entre 25 ° y 30 ° el agua está tumblada,
• entre 50 ° y 100 ° el agua está caliente.

Y tengo dos zonas intermedias para las que no sé cómo calificar el agua:

• entre 15 ° y 25 °
• entre 30 ° y 50 °.

La gráfica de la función m (t), siendo t la temperatura Celsius, se puede representar de la siguiente manera:

En este gráfico, se asumió que las transiciones eran lineales, lo que explica por qué están representadas por segmentos de línea.
La función m (t) se define así como sigue:

• t <15 °: m (t) = 0
• 15 ° <t <25 °: m (t) = 0,1 * t -1,5
• 25) <t <30 °: m (t) = 1
• 30 ° <t <50 °: m (t) = -0,05 * t  + 2,5
• t> 50 °: m (t) = 0

La elección que he hecho de las tres zonas ZC es una elección personal. 

En el siguiente ejemplo, no sería razonable adoptar una transición lineal:

Me intereso a la proposición "ser un adolescente" y solo tengo una zona ZC: "una persona cuya edad es entre 15 y 18 años es ciertamente un adolescente". En este ejemplo, las transiciones entre la edad 0 (el bebé que acaba de nacer) y la edad de un centenario no pueden ser lineales. Sería ridículo pensar que un hombre de 50 años podría tener con un adolescente una proximidad no despreciable. Por ejemplo, adoptaré las siguientes transiciones:

Definiciones

• Llamamos núcleo a las áreas donde m (x) = 1 (esto es lo que llamé anteriormente ZC).
• Llamamos áreas de soporte donde 0 <m (x) <1  (esto es lo que llamé arriba "zona de transición").
• La altura se llama  el límite superior de m (x). Desarrollo este aspecto a continuación.

Tenga cuidado de que la altura no pertenezca necesariamente al núcleo porque puede ser un límite. Este es el caso en el siguiente ejemplo: estudio el conjunto A definido como "todas las cosas grandes". Las palabras "cosas" y "grandes" no están del todo claras. Como resultado, nunca podemos decir con certeza que algo es grande, porque lo que corresponde, por ejemplo, a una molécula grande es infinitamente pequeño para el universo e incluso el universo podría ser algo "pequeño". Hay, como algunos cosmólogos piensan, diferentes universos. Para estar seguro, la palabra "cosa" debería estar mejor definida. Como resultado, el núcleo de A es un conjunto vacío y su soporte tiende a 1 sin alcanzarlo. El gráfico m (x) puede ser, por ejemplo, el siguiente:

fig.3 (figura 1.4, fuente 2, p.14)

• Se dice que un conjunto difuso se normaliza si su núcleo no es el conjunto vacío. En otras palabras, un conjunto difuso estandarizado tiene una función m (x) para la cual m toma, al menos una vez, el valor 1.
• Llamamos al complemento de un conjunto difuso de la función m (x) el conjunto difuso cuya función de membresía es 1-m (x). Es de alguna manera la negación de m (x). En el siguiente gráfico he dibujado en azul el gráfico m (x) de un conjunto difuso y en rojo el gráfico de su conjunto complementario:

Hay algo bastante notable en esta figura es que los dos gráficos tienen dos puntos de intersección M y N. En términos filosóficos, podemos decir que estos dos puntos tienen la misma proximidad a ser y no ser.

Unión de dos conjuntos difusos:  recordemos primero que en la teoría de conjuntos clásicos, la unión de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por elementos que pertenecen a A o B (y posiblemente a ambos). Por ejemplo: la unión de plantas y animales es el conjunto de los seres vivos. En lógica difusa, hay varias maneras de definir la unión, pero la más común es la siguiente: "la unión de dos conjuntos difusos cuyas funciones características son m (x) y n (x) es el conjunto difuso de funciones u (x) tal que, para todo x, u (x) = max (m (x), n (x)) A continuación, he dibujado en azul una función m (x) representativa de un conjunto difuso A, en verde n (x) para un conjunto borroso B y en rojo la unión de los dos conjuntos A y B:

fig.5. Unión de dos conjuntos difusos

Intersección de dos conjuntos difusos : de manera similar, la intersección de dos conjuntos difusos A y B es un conjunto del cual todos los elementos pertenecen a A y B.  La intersección de dos conjuntos difusos cuyas funciones características son m ( x) yn (x) es el conjunto difuso de la función u (x) tal que, para todo x,  u (x) = min (m (x), n (x)) . 

fig.6. Intersección de dos conjuntos difusos