LE PROBLÈME DE LA SOMME ET DU PRODUIT

Le problème du produit et de la somme de deux nombres est un divertissement mathématique très connu. Toutefois il me semble que, bien qu’il ne demande que des connaissances mathématiques élémentaires, c’est un des problèmes parmi les plus beaux par la simplicité de son exposé, son caractère déroutant et le peu de moyens qu’il nécessite pour le résoudre (ce qui ne veut pas dire qu'il soit facile ).

Le problème s’énonce ainsi : un comparse choisit deux nombres entiers X et Y différents, supérieurs à 2 et inférieurs à 100. Il garde secrets ces deux nombres mais fournit à un ami Paul leur produit (p) et à une amie Sophie leur somme (s).  Ni Sophie ni Paul ne connaissent les valeurs communiquées à l’autre personne. Il leur demande d’en déduire quels sont les deux nombres X et Y. Le dialogue suivant s’engage :

1.       Paul : je ne connais pas les deux nombres X et Y.
2.       Sophie : je savais que tu ne les connaissais pas.
3.       Paul : alors maintenant que tu m’as dit ça, je les connais.
4.       Sophie : alors, maintenant, je les connais aussi.

Quels sont les deux nombres X et Y ?

NIETZSCHE : "UNE LECTURE ONTOLOGIQUE"

Je recommande fortement les dix articles que Jean-Pierre Vandeuren a consacré à une "lecture ontologique de Nietzsche" en relation avec la pensée de Spinoza. J'ai rassemblé ces articles dans le texte ci-dessous.

UNE MERVEILEUSE PHOTO DE LA VOIE LACTÉE

Cette merveilleuse photo a été publiée par le site futura-sciences et les commentaires ceux ceux du journaliste Xavier Demeersman. La photo a été prise par Brad Goldpaint . 

"Cette photo a obtenu à la fois le Grand Prix du Insight Investment Astronomy Photographer of the Year et le Premier prix dans la catégorie People and Space [...]. Le paysage (la photo a été prise à Moab dans l'Utah) qui l'entoure donne l'impression d'être sur une autre planète, loin de la Terre. Peut-être Mars, par ses couleurs et ses canyons ; ou peut-être sur une lointaine exoplanète. Mais des objets célestes, visibles de notre planète bleue, se distinguent : la Lune et, en haut à gauche, la petite tache aplatie, Andromède, notre grande galaxie voisine. Au loin, comme posé sur l'horizon, le ventre gonflé d'étoiles du centre de la Voie lactée".

PROBLÈME D'ARITHMÉTIQUE : DEUX NOMBRES PREMIERS ENTRE EUX ET AYANT CHACUN 2017 DIVISEURS

Un problème d'arithmétique facile si on a quelques souvenirs des cours du lycée !

Trouver deux nombres entiers positifs différents ayant chacun exactement 2017 diviseurs (y compris le nombre lui-même et 1) et tels que ces deux nombres soient premiers entre eux. 

On ne demande pas de fournir de les nombres eux-mêmes mais la méthode pour les obtenir. Et bien entendu il ne suffit pas de trouver une solution par hasard !

JORGE LUIS BORGES, LE CHAT DE SCHRÖDINGUER ET LA PHYSIQUE QUANTIQUE

Jorge  Luis Borges (1899-1986) est un écrivain et poète argentin mondialement célébré. Il a été souvent cité pour le prix Nobel sans l’obtenir, et certains pensent que ses opinions politiques conservatrices en sont la cause.
De son propre aveu, Borges n’avait aucune connaissance en physique, mais il a écrit une courte nouvelle “El jardín de los senderos que se bifurcan”  (non publiée en français, à ma connaissance, et que l’on pourrait traduire par "Le jardin des chemins qui se séparent") dans laquelle il a une prémonition d’une des théories de la physique quantique.  Mais avant d’en arriver à cette prémonition, je dois faire un large détour par une explication, aussi simple que possible, de ce qu’est la physique quantique, faute de quoi la prémonition dont j’ai parlé serait incompréhensible.

Jorge Luis Borges

¿CÓMO LEER LA HORA UTILIZANDO LA OSA MAYOR ?

Discúlpeme las faltas de ortografía y otras. Soy francés. No escribo bien su idioma.

Los métodos astronómicos de conocer la hora local han sido principalmente útiles para los marineros de antaño. Hoy en día, son esencialmente un ejercicio interesante para los astrónomos principiantes. Describiremos aquí el método para conocer la hora usando la constelación más conocida: la Osa Mayor. Nuestro reloj estrella tiene la estrella polar como su centro, y tiene una sola aguja: la línea que une la estrella polar a las dos estrellas extremas de la Osa Mayor (los Guardias). Es la alineación de los Guardias lo que permite localizar el polar.

Fuente: http://www.aafc.fr/?post/2012/Petite-Revision-of-the-nights-of-the-cities

Suponemos aquí que el lector sabe cómo reconocer al Gran Oso y al Polar y que conoce los conceptos básicos del movimiento de la Tierra alrededor del Sol (rotación y revolución). Si este no es el caso, innumerables libros o sitios lo informarán.

Nuestro reloj tiene varias características:

• Primero, como hemos dicho, ella solo tiene una aguja.
• Luego, esta aguja gira en la dirección opuesta a la de los relojes y relojes convencionales en el sentido de las agujas del reloj (esto se debe a la dirección de rotación de la Tierra sobre sí misma).
• Por último, para facilitar la lectura de las veces la línea imaginaria centrada Polar tiene 24 divisiones y 12 no (como la rotación de la Tierra misma tiene una duración de 24 horas (más o menos).

http://www.micosmos.com/didactica/reloj_estelar/reloj_estelar.htm

En lo que sigue, todas las horas son horas UTC. Recordemos que la hora UTC, adoptada por casi todos los países, es una extrapolación del tiempo dado por el meridiano de Greenwich y se basa en la división del planeta en zonas horarias.

Fuente: https://fr.wikipedia.org/wiki/Temps_universel_coordonn%C3%A9#/media/File:Standard_World_Time_Zones.png

El uso de nuestro reloj estelar es basado en un hecho astronómico:  El 9 de marzo a la medianoche (UTC), y con independencia del año, la punta de la aguja ficticia exactamente 0h (o 24 horas, lo que es lo mismo). Obviamente, es esencial tener una posición de partida para seguir los movimientos de la aguja y es el 9 de marzo lo que nos servirá de referencia. Tenga en cuenta que el razonamiento en UTC garantiza que esta posición inicial sea casi la misma en todas partes (pero en momentos diferentes que corresponden a diferentes tiempos de 0hUTC).

Dijimos arriba "bastante": de hecho, las zonas horarias a veces son extrañamente cortadas. Volveremos a este punto más adelante.

Otro punto astronómico fundamental es que, debido a la revolución de la Tierra alrededor del Sol, el 0h UTC se desplaza todos los días por 4 min.

Supongamos ahora que estamos al sur de Portugal el 25 de septiembre. Observe la posición de la aguja ficticia y suponga que marca alrededor de las 22 h (en el circulo de 24 horas); la precisión de los minutos solo puede ser muy pequeña.

Entre el 9 de marzo y el 25 de septiembre, pasaron 6 meses y 14 días.

Multiplique la cantidad de meses por 2: 6x2 = 12. ¿Por qué esta multiplicación? Porque si se admite que un mes es de 30 días, por lo que 6 meses corresponden a los 180 días, la media noche estelar compensará 4x180 = 720 minutos = 12 días (dos veces el número de meses).

Multiplique la cantidad de días por 4 min para que el desplazamiento corresponda al número de días restantes: 14x4 = 56 min.

El turno de medianoche estelar total es por lo tanto: 720 + 56 = 776 min, es decir, 77/24 = 32h 25 min, es decir (módulo 24): 8h 24 min.

¿Deberíamos agregar o quitar este cambio en la hora leída en la aguja celestial? La norma, que es fácil de entender por pensar en cómo el cambio se lleva a cabo, es que si la fecha es anterior al 9 de marzo, añadir el desplazamiento y restando lo contrario.

En nuestro ejemplo, es necesario restarlo y, por lo tanto, el tiempo exacto es 22 - 8h24 = que podemos redondear a - 4 h en vista de las incertidumbres de la lectura. Para tener un número positivo añadimos 24h: es por lo tanto 20 h.

Sin embargo, debemos tener en cuenta el horario de verano en Portugal y restar una hora, es decir: 20h -1h = 19h (para otros países, consulte la legislación vigente).

Estrictamente hablando, la longitud debe ser tomada en cuenta. Creemos que la precisión que se puede esperar no lo requiere.

Consejos prácticos:

• No creemos que la precisión, por varias razones que no enumeramos pero cuya principal es la lectura de la aguja ficticia, pueda ser de menos de media hora.
• No debería ser difícil construir un círculo transparente con una aguja para mejorar la observación.
• La principal fuente de error es que a veces olvidamos que leemos el tiempo en un reloj ficticio dividido en 24 horas (y no 12 horas) con una rotación de la aguja en la dirección opuesta al sentido habitual. Por lo tanto, es conveniente tener a mano una copia de este círculo (vea la ilustración de arriba).

COMMENT LIRE L'HEURE EN UTILISANT LA GRANDE OURSE ?

AUTEUR DE L'ARTICLE : Patrick Olivero

Les méthodes astronomiques permettant de connaître l'heure locale ont essentiellement été utiles aux marins d'antan. Aujourd'hui elles constituent essentiellement un exercice intéressant pour les astronomes débutants. Nous décrirons ici la méthode permettant de connaître l'heure en utilisant la constellation la plus connue : la Grande Ourse. Notre horloge stellaire a pour centre l'étoile plaire et ne possède qu'une seule aiguille : la ligne qui joint la polaire aux deux étoiles extrêmes de le Grande Ourse (les Gardes). C'est l'alignement des Gardes qui permet ( en reportant 5 fois le segment qui les joint) de repérer la polaire. 

Source : http://www.aafc.fr/?post/2012/Petite-r%C3%A9vision-des-nuits-des-%C3%A9toiles

ALGUNOS CONSEJOS PARA MIRAR EL CIELO NOCTURNO EN INVIERNO, A SIMPLE VISTA.

Autor del artículo: Patrick Olivero.

Discúlpame. No escribo bien su idioma. Soy francés.

En invierno, el cielo nocturno es hermoso. Para admirarlo obviamente se requiere que el cielo esté despejado y que se encuentre en un lugar alejado de las luces artificiales. Este artículo da algunas indicaciones que pueden ser útiles para un observador principiante, confundido por la aparente complejidad del espectáculo. Todo lo que sigue se refiere solo a la observación a simple vista (lo que todos pueden hacer sin el uso de binoculares o telescopios) en el hemisferio norte (Europa, por ejemplo).

¿Qué vemos cuando miramos el cielo a simple vista?

En primer lugar, las estrellas, que nos parecen innumerables pero que de hecho son solo unos pocos miles visibles a simple vista. Todos ellos pertenecen a nuestra galaxia, la Vía Láctea, (una galaxia es una reunión de estrellas en un lugar específico en el cielo), es decir, forman nuestros "suburbios" ya que consideramos que la Vía Láctea contiene 200 mil millones de estrellas . Vemos estas estrellas porque están relativamente cerca (pero todavía a una distancia de varios años luz) o muy brillantes. Pero estas pocas miles de estrellas son suficientes para dar la impresión (falsa) de que es difícil orientarse en el cielo nocturno.

Tradicionalmente se agrupan en "constelaciones".Una constelación no es un objeto astronómico. Es solo una representación muy antigua de cómo nos aparece el cielo. Entre dos estrellas de la misma constelación, generalmente no hay relación y, a menudo, están muy separadas. Pero las constelaciones brindan información valiosa para orientarse.

 Un punto muy importante  es que las estrellas, en la escala de algunas generaciones, siempre ocupan la misma posición en el cielo. Su movimiento aparente es el resultado de la rotación de la Tierra sobre sí misma y la revolución de la Tierra alrededor del Sol.

Como resultado, hay tres tipos de constelaciones: las que son visibles todo el año, las que son visibles solo en verano y principios del invierno, y las que solo son visibles en invierno o temprano de verano Una consecuencia práctica es que si un día se observa que una estrella se levanta o se acuesta en un lugar particular del paisaje, siempre se la verá alzándose o recostándose en el mismo lugar. No al mismo tiempo, debido a los movimientos de la Tierra, pero siempre en el mismo lugar.

Representación tradicional de las constelaciones que cruza el Sol en su aparente carrera anual

Nota: Las líneas que conectan las estrellas en los dibujos de la constelación son obviamente líneas ficticias para una fácil visualización.

La Vía Láctea es, como hemos dicho, nada más que nuestra propia galaxia que vemos, de alguna manera "por rebanada". Aparece como una nube blanca que en realidad está compuesta de miles de millones de estrellas.

Podemos observar a simple vista algunas otras galaxias (Andrómeda por ejemplo). Pero eso requiere ojos muy buenos, condiciones de observación muy favorables y saber exactamente dónde están. A simple vista, aparecen como un pequeño copo blanquecino. Es poco probable que un observador novato pueda detectarlas.

En segundo lugar, y dependiendo de la fecha de la observación, también se pueden observar planetas. Los planetas son objetos oscuros (no emiten luz y, si los vemos, es porque están iluminados por el Sol). De hecho, solo hay cinco planetas que son visibles a simple vista: Mercurio, Venus, Marte, Júpiter y Saturno. A diferencia de las estrellas, no tienen una posición fija en relación con las constelaciones y se necesitan tablas digitales (llamadas "efemérides") para saber si son visibles y para poder localizarlas. Para diferenciar entre un planeta y una estrella, debes verificar si la estrella parpadea o no. Una estrella emite luz que brilla cuando pasa a través de la atmósfera. Por otro lado, un planeta no es luminoso y aparece como una luz fija.

Algunas indicaciones: es muy difícil ubicar a Mercurio porque este planeta siempre está muy cerca del sol; Venus es muy reconocible (especialmente después del atardecer o antes del amanecer) porque es muy brillante, mucho más que todas las estrellas visibles (con la excepción de Sirio); Marte es reconocible por su color rojo; Júpiter es también una estrella muy brillante. En cuanto a Saturno, es necesario recurrir a las efemérides porque es un planeta bastante poco brillante.

No olvido, por supuesto, la Luna, que es nuestro satélite, pero todos lo conocen bien y conocen la sucesión de sus fases.

Sucede que podemos observar cometas. Es un espectáculo maravilloso, pero es bastante raro y está bien documentado por todos los medios, por lo que no decimos más sobre él.

Para terminar con los objetos astronómicos visibles a simple vista, citemos estrellas fugaces u otros meteoros. Hay buenos momentos para observar las "lluvias de estrellas que caen" (las Perseidas, por ejemplo), pero de nuevo la mayoría de los medios dan indicaciones suficientes.

Finalmente, también hay objetos artificiales: aviones, satélites, etc. Estos objetos no se pueden confundirse con objetos astronómicos: primero, porque se mueven a una velocidad bastante alta; luego porque los aviones generalmente tienen luces rojas y parpadean (¡y hacen ruido!). Los satélites artificiales aparecen como una luz fija (están iluminados por el Sol) y cruzan el cielo visible con bastante rapidez.

En lo que sigue daremos algunos consejos para identificar las estrellas más famosas y algunas constelaciones.

1 ° / La Osa Mayor y la estrella Polar

Lo primero que debes hacer es girar hacia el norte. No necesitamos mucha precisión. En general, todos saben instintivamente dónde está el norte. Si no es el caso, será necesario usar una brújula. En la zona norte, encontramos fácilmente la constelación Osa Mayor.

 Es una constelación llamada "circumpolar", lo que significa que es visible todo el año. También se le conoce popularmente como "la olla" porque tiene la forma de este utensilio de cocina. Atención, dependiendo del tiempo puede tener diferentes posiciones (pero siempre la misma forma).

Situar La Osa Mayor tiene dos usos: por un lado, es un hito que siempre es visible; por otro lado (en el hemisferio norte) permite ubicar la estrella polar. La Estrella polar es una pequeña estrella brillante en la constelación de la Osa menor y pasaría desapercibida si no fuera una propiedad notable: es la única estrella en el cielo que tiene una posición fija. Por qué ? Porque está (casi) ubicado en el eje de rotación de la Tierra (el eje de los polos celestes) y, por lo tanto, no tiene rotación aparente. De hecho, todas las estrellas parecen girar alrededor de la estrella polar. Esto no es exactamente correcto porque la estrella polar no se confunde exactamente con el norte celestial. Pero la diferencia es mínima.

Para encontrar la estrella polar, debe extender el borde extremo de la "olla" unas cinco veces como se muestra en el siguiente diagrama:

Una vez que haya detectado la estrella polar, es casi seguro que la encontrará de nuevo más tarde porque, aunque no es muy luminosa, está relativamente aislada en el norte, lejos de otras estrellas brillantes. Es una referencia fija excelente cuando uno se encuentra un poco "perdido" en la observación del cielo. Además, como veremos a continuación, hay otra forma igualmente fácil de encontrarlo.

2 ° / Constelación Cassiopeia:

Cuando hemos visto la Osa Mayor y la Estrella Polar, podemos ver, al lado opuesta a la Osa Mayor, un W o en forma de M (dependiendo de la hora), compuesto de estrellas brillantes; la constelación de Cassiopeia. Dada su forma y el brillo de sus estrellas, ¡es casi imposible no verlo! Si dibujamos una línea imaginaria entre Cassiopeia y La Osa Mayor podemos identificar fácilmente la estrella polar. No es necesaria ninguna precisión porque, como hemos dicho, el Polar es la única estrella brillante en esta parte del cielo. Esta es otra forma de ubicar el eje de rotación del cielo.

3 ° / Constelación de Perseo

Si extendemos uno de los brazos interiores de la W de Casssiopée hacia el sureste, encontramos la constelación de Perseo, que tiene dos estrellas brillantes, Mirphak y Algol. Mitpkak es el más brillante, pero Algol es el más famoso porque es el prototipo de estrella con brillo variable (no siempre tiene el mismo brillo).

Es interesante conocer la posición de Perseo porque es de esta constelación que parece surgir la lluvia de estrellas fugaces llamadas "Perseidas" en agosto.

4 ° / La estrella Capella en la constelación del cochero

Estrella muy brillante que es un buen punto de referencia. Se encuentra extendiendo la "tapa" de la Oso Mayor en la dirección opuesta al "mango". Es la estrella más brillante de la región Polar. A simple vista, aparece como una estrella única, pero en realidad es un sistema estelar compuesto por dos pares de estrellas.

: https://saplimoges.fr/limage-du-mois-de-juillet-2017-la-constellation-du-cocher/

5 ° / La estrella Arcturus y la constelación Bouvier

Estamos volviendo temporalmente a la Osa mayor. La "cola" de esta "cacerola" parece dibujar un arco circular. Si ampliamos circularmente este arco, encontramos muy fácilmente una estrella muy brillante y anaranjada, llamada Arcturus. En la lista de las estrellas más brillantes del cielo, ocupa la tercera posición en el hemisferio norte (1.Solar, 2. Sirius, 3. Arcturus). El nombre Arcturus proviene del griego antiguo Ἀρκτοῦρος / Arktoûros que significa "el guardián de los osos" debido a su proximidad a la Osa Mayor y la Osa Menor. Es parte de una constelación (Bouvier), que tiene la forma de una cometa rudimentaria.

 http://astrosurf.com/toussaint/dossiers/lesetoiles/vieetmort/lesetoiles.htm

A la izquierda del Bouvier hay una pequeña constelación en forma de semicírculo: la Corona Boreal.

6 ° / La espiga de la Virgen

Si nos prolongamos más allá de Arcturus, el arco de la Osa Mayor observamos la estrella Spica de la constelación de la Virgen (también llamada "la espiga de la Virgen").

Pero cuidado: esta constelación no es circumpolar y solo es visible desde el final del invierno. Es una constelación llamada "zodiacal" que significa que es atravesada por el Sol entre el 16 de septiembre y el 30 de octubre. También es la constelación (el más grande del cielo visible) y en la que el Sol permanece un máximo de días.

7 ° / Orión: la reina de las noches de invierno

La constelación de Orión es notable y no requiere ninguna alineación particular para reconocerla. Tiene la forma de un gran reloj de arena que incluye, en su parte más angosta, tres estrellas brillantes (Los Magos de Orion). Más adelante veremos que esta alineación es valiosa para identificar otras estrellas.

Además de Los Magosi, las tres estrellas más brillantes de Orion son Rigel, Betelgueuse y Bellatrix.

• El más brillante es Rigel; está ubicado en la parte inferior derecha de la constelación y su color es azulado. Es aproximadamente 78.9 veces más grande que el Sol, y es la sexta estrella más brillante en el cielo.
• De un brillo aproximadamente comparable, Betelgeuse es de color rojizo y se encuentra en la parte superior izquierda de Orion. Es la novena estrella más brillante en el cielo. Rigel y Betelgeuse son de alguna manera los extremos de una gran diagonal del reloj de arena y es difícil (si no imposible) no notarlos.
• Bellatrix es menos brillante y se encuentra en la esquina superior izquierda de Orion.

8 ° / Sirio

Sirio es la estrella más brillante en el cielo. Es fácil verla extendiendo al suelo las tres estrellas que constituyen Los Magos de Orion. Es una estrella que en nuestras latitudes europeas todavía es bastante baja en el horizonte. Por lo tanto, es posible, dependiendo de la topografía, la hora y la fecha que esté oculta. Pero cuando es visible, es imposible confundirlo con cualquier otra estrella debido a su magnífico brillo. En la antigüedad, Sirius siempre se ha asociado con mitos o ciertas prácticas agrícolas.

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9 ° / Las Pléyades

Las Pléyades son un grupo de estrellas reunidas en un espacio relativamente pequeño. A diferencia de las constelaciones, las estrellas de un grupo están unidas por atracción gravitacional, es decir, constituyen un sistema.

El cúmulo de Pléyades contiene aproximadamente 3000 estrellas, pero solo 9 de ellas son teóricamente visibles a simple vista. Teóricamente, de hecho, solo 5 de ellos son fácilmente distinguibles. Si tenemos buenos ojos, podemos ver 7. Ver 9 requiere excelentes condiciones de observación o el uso de binoculares.

La forma más fácil de detectar los pléiades es usar la alineación PAMS que describimos a continuación.

 10 ° / Alineación PAMS

PAMS son las iniciales de Pleiades, Aldebaran, Mages y Sirius. De hecho, estos objetos están aproximadamente alineados en el cielo invernal.

Si extendemos de izquierda a derecha una línea ficticia que pasa por Sirio y los Magos de Orión, encontramos una estrella brillante, Aldebarán, que pertenece a la constelación de Tauro. Es la decimotercera estrella más brillante en el cielo y la única estrella brillante a la derecha de los Magos de Orión.

Si continuamos esta línea imaginaria más allá de Aldebarán, encontramos el grupo de Pléyades.

 http://www.planetastronomy.com/astronews/astrn-2008/04/astronews-net-28fev08.htm

11 ° / El triángulo de invierno

El triángulo de invierno es una figura en forma de triángulo equilátero. Sus cumbres están constituidas por dos estrellas que ya conocemos: Sirius y Betelgeuse, y un tercer Procyon.

https://www.socialbuzz.fr/10-des-plus-brillants-objets-dans-lespace-que-vous-pouvez-voir-a-loeil-nu/

12 ° / El cuadrado de Pegaso y la constelación de Andrómeda

Estos dos objetos están asociados porque la Constelación de Andrómeda constituye en cierto modo "la cola" del cuadrado de Pegaso y el conjunto se parece al Osa Mayor en tres veces más grande. El cuadrado de Pegaso puede reconocerse sin dificultad debido a su forma geométrica. Se encuentra a la derecha de Cassiopeia y las estrellas que forman los picos del cuadrado son las únicas estrellas brillantes.

 https://bellerophon69.skyrock.com/94605473-Je-suis-pres-de-la-Constellation-d-Andromede.html

La figura anterior indica la posición de la nebulosa M31, visible a simple vista, pero, como ya hemos señalado, es difícil de detectarla.

¿CON QUE DERECHOS SE DICE EL DERECHO?

Discúlpeme las faltas. No escribo bien su idioma. Soy francés.

Hay preguntas en la filosofía que son persistentes: por ejemplo, la que ha sido transcrita de varias maneras por muchos filósofos de todas las edades (desde Platón a Michel Foucault, entre otros): "¿Con qué derecho decimos el Derecho? ".

Una respuesta intuitiva

La pregunta parece llamar una respuesta intuitiva: la Ley, es decir, Constitución de Estados, leyes, decretos, etc. existen para decir a los ciudadanos lo que legítimamente pueden hacer o no hacer. Todo este corpus va acompañado de un aparato legal, considerado independiente, autorizado a imponer sanciones. Y toda esta mecánica tiene la intención de proteger a los ciudadanos contra el daño que todos pueden causar a otros.  Hay que tener en cuenta que todo esto se aplica a la legislación nacional. En cuanto a las relaciones entre los Estados, en particular la legitimidad de las guerras y los medios utilizados para este fin, no se ha observado un avance ético significativo a lo largo de los siglos, a pesar de los diversos tratados de paz, la creación de la “Société de Nations”, luego la ONU.

Pero esta respuesta ( la Ley) plantea otras dos preguntas:

• ¿Por qué deberíamos proteger al hombre contra el hombre?

• ¿Por qué los hombres aceptan abdicar parte de su libre albedrío para someterse a las leyes?

Creo que el consenso que existe (en Occidente) sobre estos dos temas  es respaldado, de un punto de vista filosófico y no práctico, por dos mitos sobre los cuales volveremos.  Cuando hablo de mitos, no me refiero a una mitología. Utilizo esta palabra en el sentido de una explicación teórica, no basada históricamente.

El mito del estado de naturaleza

"El estado de naturaleza" es una situación hipotética muy antigua que habría precedido a la organización del mundo en estados políticamente organizados. Se opone al "estado civil" y al "estado de derecho". Este es un concepto relativamente moderno, ya que se desarrolló esencialmente a partir del siglo XVII (Hobbes, Locke, Rousseau, en particular).

En este estado de naturaleza, el hombre tenía necesidades estrictamente naturales: alimentarse, calentarse, protegerse de los depredadores, etc. Pero no estaba sujeto a más restricciones que los límites de sus propias habilidades (astucia, fuerza física, imaginación, etc.), Nada le está prohibido. Para lograr sus fines, puede usar todos los medios que están en su poder. Pero los tres pensadores que mencionamos anteriormente abordaron el estado de la naturaleza de una manera diferente:

• Para Hobbes, el hombre es "naturalmente" un lobo para el hombre y sus relaciones con sus compañeros constituyen un estado permanente de guerra. ¡No estaba muy lejos del conatus spinozista que justifica que los peces grandes se coman los pequeños!

• Locke tiene una visión menos optimista. El hombre no es "naturalmente" malo, pero, en el estado de naturaleza, es esencialmente la avaricia de poseer cada vez más (esencialmente en términos de territorio) lo que lo pervierte.

• Rousseau tiene una posición particular. Considera que, en el estado de naturaleza, el hombre se mueve por dos impulsos: por un lado, la necesidad de subsistir, que puede empujarlo a todos los excesos; pero también un sentimiento igualmente "natural" de compasión. Para Rousseau, el estado de naturaleza es una lucha entre estas dos pulsiones. La compasión no es un sentimiento moral (porque la moralidad de Rousseau se adquiere solo en la sociedad) sino una facultad que hace que todos se muestren reacios a ver sufrir a otros hombres. Por lo tanto, no es correcto decir (como leemos a veces) que Rousseau piensa que el hombre es naturalmente "bueno" porque "bueno" y "malo" son conceptos morales.

Si decimos que este estado de naturaleza es un mito, es porque es científicamente comprobado que el hombre estrictamente individual y aislado nunca ha existido, no existe y nunca existirá. Debemos admitir, con Aristóteles, que el hombre es un animal político, y que si hay algo "natural" en él (y que proviene esencialmente del lenguaje y de la autoconciencia), es la necesidad (¿y deseo?) de vivir juntos.

Los hallazgos paleontológicos y arqueológicos modernos han demostrado que los primeros hombres vivían en pequeños grupos, que eran capaces de cazar juntos (lo que presupone una organización). Estos datos fueron obviamente desconocidos en el siglo XVII, pero el sentido común permitió estar seguros de que el estado de la naturaleza era solo un mito. No hay ningún ejemplo en la naturaleza de funciones naturales que no se explotan. Como dijimos anteriormente, el lenguaje y la autoconciencia son elementos sociales. Que esta sociabilidad ha sido benévola u hostil (que puede ir tan lejos como el canibalismo) es otro problema que sin duda depende de la presión del medio ambiente (abundancia o falta de recursos).

Por lo tanto, creemos que ninguno de los filósofos que se adhieren al estado de naturaleza ha creído en su veracidad histórica.

En estas condiciones, ¿por qué usar este mito? Se debe a que es la "puerta de entrada" del estado civil, las sociedades organizadas y civilizadas, la irrupción de la ley en el patio de recreo de los hombres. De alguna manera se presenta un "lado oscuro" e inaceptable para apoyar la "servidumbre voluntaria" que constituyen las reglas de la vida social. Michel Foucault resume este punto de vista sucintamente en su libro "Vigilar y castigar":

" Para operar de acuerdo con la teoría pura de los derechos y las leyes, los juristas se ubicaron imaginativamente en el estado de naturaleza; para ver la función de las disciplinas perfectas, los gobernantes soñaban con el estado de peste”.

En este contexto el verbo "soñar" no significa "esperar" sino "construir un sueño, un mito". 

El contrato social

El mito de la fuerza de contrato social es notar que, además de períodos de crisis graves y sangrientas, la mayoría de las personas viven en estados con un arsenal jurídico legal. ¡Atención! No digo que estas personas viven en un "estado de derecho" que excluye la arbitrariedad y la persecución. Pero en general, incluso los peores regímenes totalitarios tienen una falsa justicia cuando no están en una guerra civil o internacional. Después de haber imaginado un estado de naturaleza, fue necesario explicar por qué ya no existe. De ahí la necesidad de otro mito, "el contrato social".

Las teorías del contrato implican que en un momento dado la gente cansada de la "ley de la jungla", o golpeada por un destello de razón, decide en común y por su propia voluntad de tener reglas que les permitan vivir en paz. Es la transición del ser humano individual al humano social y "civilizado". Hay varias versiones del contrato social. Nos contentaremos comentar sobre el que nos parece emblemático: la concepción de Rousseau.

." Esta transición del estado natural al estado civil produce en el hombre un cambio notable, sustituyéndolo en su conducta, justicia al instinto, y dando a sus acciones la moralidad que antes le faltaba. Es solo entonces que la voz del deber sucediendo al impulso físico y al derecho al apetito, el hombre, que hasta ese momento se había mirado solo a sí mismo, se ve obligado a actuar en consecuencia con otros principios, y consultar su razón antes de escuchar sus inclinaciones. Aunque en este estado se priva de varias ventajas que deriva de la naturaleza, recupera tanto de ellas, sus facultades son ejercidas y desarrolladas, sus ideas se extienden, sus sentimientos ennoblecidos, su alma. Todo se eleva de tal manera que si los abusos de esta nueva condición no la degradan a menudo por debajo de la que ha salido, debería bendecir continuamente el momento feliz que la arrancó para siempre, y que, d un animal estúpido y obstinado hizo un ser inteligente y un hombre” – (Contrato social o principios de derecho político; Primer Libro, Capítulo VIII5).

El contrato social de Rousseau es casi un milagro: el hombre descubre la moralidad, sustituye la justicia por el instinto, escucha "la voz del deber", deja de mirar solo a sí mismo, consulta su razón, etc. En el capítulo VI del "Contrat social" Rousseau es más preciso en cuanto a las causas de este trastorno. Supone que el hombre ha llegado, en el estado de naturaleza, a un punto que ya no le permite su supervivencia. Entonces habría producido una "primera convención", aceptada por unanimidad, permitiendo una nueva organización de hombres. Cabe señalar, además, que Rousseau sigue siendo reservado sobre las consecuencias de esta convención, ya que escribe "si los abusos de esta nueva condición no lo degradan a menudo por debajo de lo que le queda", reserva que anuncia la segunda parte del "Contrato social" en la que compara los diferentes regímenes.

El contrato social de Rousseau es obviamente un mito. Históricamente no tiene ninguna base. Filosóficamente, no se puede entender cómo las causas externas pueden sacar a la moralidad. Sería una cuestión de "cambiar al hombre", como han dicho los llamados regímenes comunistas. Sobre este punto, Rousseau se aparta irremediablemente de Kant, quien ha abogado lúcidamente por la estricta separación de la moral y la política.

¿Que derechos tiene el Derecho?

Nuestra visión personal, no mítica es (como ya dijimos) que el hombre siempre ha sido un animal político. En los primeros días de su historia evolucionó en pequeños grupos que luego fueron agregados en tribus más grandes. Desde el comienzo de su historia social (y creemos que el hombre no ha tenido otra historia que la social) ha habido reglas tácitas. Mucho más tarde apareció lo que llamamos Historia y de la cual solo conocemos la infancia. La creación de los estados "modernos" y la ley que ya existía en la antigua Grecia no es el resultado de una primera convención, sino de circunstancias muy diferentes: guerras, conquistas, sumisión voluntaria, etc. La organización gradual de estos estados legalmente regulados, lejos de ser un camino sembrado de rosas, fue una pesadilla plagada de masacres, injusticias y egoísmo.

Y sabemos que hoy está lejos de terminar.

QUELQUES CONSEILS POUR ADMIER LE CIEL À L’ŒIL NU

Auteur de l'article : Patrick Olivero

En hiver le ciel nocturne est magnifique. Pour l’admirer il faut évidemment que le ciel soit dégagé  et que l’on soit dans un lieu éloigné des lumières artificielles. Cet article donne quelques indications qui peuvent être utiles à un observateur débutant, dérouté par la complexité apparente du spectacle. Tout ce qui suit ne concerne que l’observation à l’œil nu (ce que chacun peut voir sans usage de jumelles ou télescopes) dans l’hémisphère nord (l’Europe par exemple).

LOS RELOJES DE SOL

Disculpe, no escribo bien su idioma.

En muchas iglesias, edificios públicos o privados, hay relojes de sol, generalmente simples, es decir, compuestos por un vástago llamado "gnomo", y un círculo que indica la sucesión de horas. Estos relojes de sol a menudo están decorados artísticamente y incluyen una cita latina que recuerda la fugacidad del tiempo.

El problema que estamos tratando en este artículo es la correspondencia entre la indicación de tiempo dada por el reloj de sol, y el tiempo oficial en un lugar especifico.

Primero recordemos algunas características de los relojes de sol.

• Un reloj de sol se puede construir en una pared que tenga cualquier orientación, e incluso en superficies curvas. Pero en una pared que no está orientada hacia el sur (en el hemisferio norte), se da una indicación de tiempo solo durante un cierto período del día. El resto del tiempo, el reloj no está iluminado por el sol y no puede dar ninguna indicación.
• Los gnomos a menudo se orientan en un ángulo dependiendo de la latitud del lugar. Esto no es obligatorio: permite que la sombra del gnomo recorra el círculo del reloj, para leer directamente la hora correspondiente. Si este no es el caso, es la dirección de la sombra del gnomo, extrapolada al círculo de la hora, que indica la hora.
• Un reloj de sol indica el tiempo solar "verdadero", es decir aquel para el cual el sol está exactamente al sur al mediodía.

La diferencia entre el tiempo indicado por un reloj de sol y la hora del reloj requiere tres correcciones:

• La primera es fácil de hacer: es la introducción en la mayoría de los países de la hora de verano o invierno. Por lo tanto, es suficiente sumar o restar el número de horas correspondientes a la hora y la legislación del país.
• La segunda es la corrección de longitud. Cada país está vinculado a un huso horario. En principio, el tiempo legal (tiempo de observación) es el verdadero tiempo solar de un meridiano que permite minimizar las diferencias en el tiempo solar real en todas las partes del territorio nacional. Pero hay muchas excepciones de todo tipo. Francia metropolitana, por ejemplo, tiene una ubicación geográfica muy parcial en la zona que establece su tiempo legal. Se adjunta a un eje de Europa Central, siguiendo una decisión de la ocupación alemana en 1940, una disposición que se mantuvo después del final de la guerra. Solo el noreste de Francia tiene una hora cercana a la hora solar verdadera. El caso de la España peninsular también es excepcional. En 1942, el general Franco decidió hacer coincidir la hora española con la hora francesa. Como resultado, ningún punto en el territorio español coincide con el verdadero tiempo solar. Parte del territorio (en Galicia) está incluso dos horas atrás del tiempo solar. Como en Francia, el tiempo oficial es más o menos el de Berlín. ¿Por qué el General Franco tomó esta decisión? Creo que las razones son prácticas porque habría sido perjudicial, por razones económicas y otras, tener un tiempo legal diferente con un vecino tan cercano e importante como Francia. Para un reloj de sol, una corrección es por lo tanto necesaria: transformar la diferencia de longitud en una diferencia de tiempo. Esto significa que un reloj de sol nunca debe (a menos que sea una excepción) indicar 12 horas al sur del cuadrante.

• La tercera corrección es astronómica. En la mayoría de los relojes de sol, se supone que el sol recorre su camino aparente en un círculo. Es por esta razón que las indicaciones de tiempo se distribuyen uniformemente a lo largo del círculo de tiempo. Pero esto no es exactamente así, especialmente (pero no solo) porque la tierra no describe un círculo sino una elipse y su velocidad relativa al sol no es constante. Por lo tanto, es necesario hacer una tercera corrección llamada corrección de la "ecuación del tiempo". Esta corrección puede ser más o menos un cuarto de hora como máximo.

Ecuacion del tiempo

Como resultado, si la construcción de un simple reloj de sol es fácil, su coincidencia con el tiempo del reloj lo es mucho menos y la mayoría de los relojes de sol que encontramos son más objetos decorativos que instrumentos de medida del tiempo.

GENERALIDADES SOBRE LA LOGICA DIFUSA

Soy francés. No hablo bien su idioma.

La lógica difusa es un método de razonamiento que hace posible tratar problemas cuya declaración no es completamente explícita.

Por ejemplo: si considero el conjunto T de los habitantes de la Tierra que tienen una estatura de 1m75 o más de 1m75, la definición es inequívoca. Por cada persona en la tierra  puedo decir con seguridad si pertenece o no a T. Pero, si defino otro conjunto S como el conjunto de personas altas, el concepto de "alto" es borroso. Puedo decir con certeza que una persona de 2 m pertenece a S; también puedo decir con certeza que una persona de 1m50 no pertenece a S. ¿Pero cómo calificar a un hombre de 1m75 ?

Otro ejemplo: No me equivocaré si digo:

que entre 0 ° y 15 ° el agua está frío,

que entre 60 ° y 100 ° el agua está caliente.

Pero, ¿cómo calificar un agua a 30 ° o 40 °?

yontroducción

Este artículo utiliza principalmente tres fuentes, que señalaré: fuentes 1, 2 y 3 cuando tendré que citarlas:

• Fuente 1: "Fuzzy logic", Bernadette Bouchon-Meunier, PUF, 2007.

• Fuente 2: "Elementos de la lógica difusa", Louis Gascôgne, Hermes, 1997.

• Fuente 3: "La lógica difusa -Ejercicios corregida y aplicaciones de ejemplo," Bernadette Bouchon-Meunier, Lawrence Foulloy Mohammed Ramdani, ed. Cépaduès, 1998, Toulouse.

El principio general de la lógica difusa es cuantificar las zonas intermedias de proximidad borrosas con zonas de certeza zona ZC (los términos "zona de confianza" y "zona intermedia" no son parte del vocabulario utilizado en los libros, pero me parece más explícito en una introducción y rápidamente presentaré el vocabulario habitual a continuación). El elemento principal en un problema de lógica difusa es una función de membresía, que caracteriza la proximidad de un cierto estado a los ZC. Es esta función que caracteriza el conjunto difuso A del que hablamos. En otras palabras cualquier punto del plano cuyas coordenadas se definen por esta función, señalan que m (x), pertenece al conjunto difuso A. La función m (x) es siempre entre 0 y 1. Es igual a 0 o 1 cuando el valor x corresponde a un ZC. Puede tomar cualquier otro valor entre 0 y 1 en las zonas intermedias.

¡Se necesita un ejemplo!

Estamos interesados ​​en agua templada.

Supongo que entre 25 ° y 30 ° un agua ciertamente puede llamarse "templada". Que debajo de 15 ° no es caliento, pero indudablemente frío y que por encima de 50 ° no es cálido pero inconfundiblemente caliente.

En este ejemplo, tengo tres zonas ZC:

entre 0 ° y 15 ° el agua está fría,

entre 25 ° y 30 ° el agua está tibia,

entre 50 ° y 100 ° el agua está caliente.

Y tengo dos zonas intermedias para las que no sé cómo calificar el agua:

entre 15 ° y 25 °

entre 30 ° y 50 °.

La gráfica de la función m (t), siendo t la temperatura Celsius, se puede representar de la siguiente manera:

Figura 1

En este gráfico, se asumió que las transiciones eran lineales, lo que explica por qué están representadas por segmentos de línea.

La función m (t) se define así como sigue:

t <15 °: m (t) = 0

15 ° <t <25 °: m (t) = 0.1 * t -1.5

25) <t <30 °: m (t) = 1

30 ° <t <50 °: m (t) = -0.05 * t + 2.5

t> 50 °: m (t) = 0

La elección que hice de las tres zonas ZC es una elección personal.

En el siguiente ejemplo, no sería razonable adoptar una transición lineal:

Me interesa la proposición "ser un adolescente" y solo tengo una zona ZC: "una persona cuya edad es entre 15 y 18 años es ciertamente un adolescente". En este ejemplo, las transiciones entre la edad 0 (el bebé que acaba de nacer) y la edad de un centenario no pueden ser lineales. Sería ridículo pensar que un hombre de 50 años podría tener un adolescente con una proximidad no despreciable. Por ejemplo, adoptaré las siguientes transiciones:

Figura 2

definiciones

Llamamos núcleo a las áreas donde m (x) = 1 (esto es lo que llamé anteriormente ZC para m (x) = 1).

Llamamos áreas de soporte donde 0 <m (x) <1 (esto es lo que llamé arriba "zona de transición").

La altura se llama el límite superior de m (x). Desarrollo este aspecto a continuación.

Tenga cuidado de que la altura no pertenezca necesariamente al núcleo porque puede ser un límite. Este es el caso en el siguiente ejemplo: estudio el conjunto A definido como "todo lo grande". Las palabras "cosas" y "grandes" no están del todo claras. Por lo tanto no podemos decir con certeza que algo es grande, ya que corresponde, por ejemplo, una molécula grande es un infinitamente pequeño al mundo e incluso el universo podría ser algo "pequeño" s' Hay, como algunos cosmólogos piensan, diferentes universos. Soy francés. No hablo bien su idioma.

La lógica difusa es un método de razonamiento que hace posible tratar problemas cuya declaración no es completamente explícita.
Por ejemplo: si considero el conjunto T de los habitantes de la Tierra que tienen una estatura de 1m75 o más de 1m75, la definición es inequívoca. Por cada persona en la tierra puedo decir con seguridad si pertenece o no a T. Por contra, si defino otro conjunto S como el conjunto de personas altas, el concepto de "alto" es borrosa. Puedo decir con certeza que una persona de 2 m pertenece a S; también puedo decir con certeza que una persona de 1m60 no pertenece a S. ¿Pero cómo calificar a un hombre de 1m75 ?

Otro ejemplo: puedo decir con agua que hace frío o calor. No me equivocaré si digo:

que entre 0 ° y 15 ° el agua está fría,
que entre 60 ° y 100 ° el agua está caliente.

Pero, ¿cómo calificar un agua a 30 ° o 40 °?

Fuente de ilustración

Introducción

Este artículo utiliza principalmente tres fuentes, que señalaré: fuentes 1, 2 y 3 cuando tendré que citarlas:

• Fuente 1: "Fuzzy logic", Bernadette Bouchon-Meunier, PUF, 2007.
• Fuente 2: "Elementos de la lógica difusa", Louis Gascôgne, Hermes, 1997.
• Fuente 3: "La lógica difusa -Ejercicios corregida y aplicaciones de ejemplo," Bernadette Bouchon-Meunier, Lawrence Foulloy Mohammed Ramdani, ed. Cépaduès, 1998, Toulouse.

El principio general de la lógica difusa es cuantificar las zonas intermedias de proximidad borrosas con zonas de certeza zona ZC (los términos "zona de confianza" y "zona intermedia" no son parte del vocabulario utilizado en los libros, pero me parece más explícito en una introducción y rápidamente presentaré el vocabulario habitual a continuación). El elemento principal en un problema de lógica difusa es una función de membresía, que caracteriza la proximidad de un cierto estado a los ZC. Es esta función que caracteriza el conjunto difuso A del que hablamos. En otras palabras cualquier punto del plano cuyas coordenadas se definen por esta función, señalan que m (x), pertenece al conjunto difuso A. La función m (x) es siempre limitada entre 0 y 1. Es igual a 0 o 1 cuando el valor x corresponde a un ZC. Puede tomar cualquier otro valor entre 0 y 1 en las zonas intermedias.

¡Necesitamos un ejemplo!

Supongo que entre 25 ° y 30 ° un agua ciertamente puede llamarse "templado". Que debajo de 15 ° no es caliento, pero indudablemente frío y que por encima de 50° es inconfundiblemente caliente.
En este ejemplo, tengo tres zonas ZC:

entre 0 ° y 15 ° el agua está fría,
entre 25 ° y 30 ° el agua está templada,
entre 50 ° y 100 ° el agua está caliente.

Y tengo dos zonas intermedias para las que no sé cómo calificar el agua:

entre 15 ° y 25 °
entre 30 ° y 50 °.

La gráfica de la función m (t), siendo t la temperatura Celsius, se puede representar de la siguiente manera:


Figura 1

En este gráfico, se asumió que las transiciones eran lineales, lo que explica por qué están representadas por segmentos de línea.
La función m (t) se define así como sigue:

t <15 °: m (t) = 0
15 ° <t <25 °: m (t) = 0.1 * t -1.5
25) <t <30 °: m (t) = 1
30 ° <t <50 °: m (t) = -0.05 * t + 2.5
t> 50 °: m (t) = 0
La elección que hice de las tres zonas ZC es una elección personal.

En el siguiente ejemplo, no sería razonable adoptar una transición lineal:

Me interesa la proposición "ser un adolescente" y solo tengo una zona ZC: "una persona cuya edad es entre 15 y 18 años es ciertamente un adolescente". En este ejemplo, las transiciones entre la edad 0 (el bebé que acaba de nacer) y la edad de un centenario no pueden ser lineales. Sería ridículo pensar que un hombre de 50 años podría tener con un adolescente una proximidad no despreciable. Por ejemplo, adoptaré las siguientes transiciones:


Figura 2

definiciones

Llamamos núcleo a las áreas donde m (x) = 1 (esto es lo que llamé anteriormente ZC para m (x) = 1).
Llamamos áreas de soporte donde 0 <m (x) <1 (esto es lo que llamé arriba "zona de transición").
La altura se llama el límite superior de m (x). Desarrollo este aspecto a continuación.
Tenga cuidado de que la altura no pertenezca necesariamente al núcleo porque puede ser un límite. Este es el caso en el siguiente ejemplo: estudio el conjunto A definido como "todo lo grande". Las palabras "cosas" y "grandes" no están del todo claras. Por lo tanto no podemos decir con certeza que algo es grande, ya que corresponde, por ejemplo, una molécula grande es un infinitamente pequeño al mundo e incluso el universo podría ser algo "pequeño". Hay, como algunos cosmólogos piensan, diferentes universos. Para tener cierta certeza, sería Para estar seguro, la palabra "cosa" debería estar mejor definida. Sin embargo, la afirmación no es absurda porque podemos hablar muy bien de todas las cosas, como el conjunto de cuerpos no vivos o partículas que existen en el universo. Como resultado, el núcleo de A es un conjunto vacío y su soporte tiende a 1 sin alcanzarlo. El gráfico m (x) puede ser, por ejemplo, el siguiente:

fig.3 (Figura 1.4, Fuente 2, página 14)

• Se dice que un conjunto difuso se normaliza si su núcleo no es el conjunto vacío. En otras palabras, un conjunto difuso estandarizado tiene una función m (x) para la cual m toma, al menos una vez, el valor 1.
• Llamamos « complemento » de un conjunto difuso de función m (x) el conjunto difuso cuya función de membresía es 1-m (x). Es de alguna manera la negación de m (x). En el siguiente gráfico he dibujado en azul el gráfico m (x) de un conjunto difuso y en rojo el gráfico de su conjunto complementario:

fig.4

Hay algo bastante notable en esta figura es que los dos gráficos tienen dos puntos de intersección M y N. En términos filosóficos, podemos decir que estos dos puntos tienen la misma proximidad a ser y no ser.

Unión de dos conjuntos difusos: recordemos primero que en la teoría de conjuntos clásicos, la unión de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por elementos que pertenecen a A o B (y posiblemente a ambos). Por ejemplo: la unión de plantas y animales es el conjunto de los seres vivos. En lógica difusa, hay varias maneras de definir la unión, pero la más común es la siguiente: "la unión de dos conjuntos difusos cuyas funciones características son m(x) y n(x) es el conjunto difuso de funciones u (x)tal que, para todo x, u (x) = max (m (x), n (x)) A continuación, he dibujado en azul una función m (x) representativa de un conjunto difuso A, en verde n (x) para un conjunto difuso B y en rojo la unión de los dos conjuntos A y B:


fig.5. Unión de dos conjuntos difusos

Intersección de dos conjuntos difusos: de una manera análoga, la intersección de dos conjuntos borrosos A y B es un conjunto cuyos elementos pertenecen a A y B. La intersección de dos conjuntos difusos cuyas características son funciones m ( x) yn (x) es el conjunto difuso de la función u (x) tal que, para todo x, u (x) = min (m (x), n (x)).