LE PROBLÈME DE LA SOMME ET DU PRODUIT

Le problème du produit et de la somme de deux nombres est un divertissement mathématique très connu. Toutefois il me semble que, bien qu’il ne demande que des connaissances mathématiques élémentaires, c’est un des problèmes parmi les plus beaux par la simplicité de son exposé, son caractère déroutant et le peu de moyens qu’il nécessite pour le résoudre (ce qui ne veut pas dire qu'il soit facile ).

Le problème s’énonce ainsi : un comparse choisit deux nombres entiers X et Y différents, supérieurs à 2 et inférieurs à 100. Il garde secrets ces deux nombres mais fournit à un ami Paul leur produit (p) et à une amie Sophie leur somme (s).  Ni Sophie ni Paul ne connaissent les valeurs communiquées à l’autre personne. Il leur demande d’en déduire quels sont les deux nombres X et Y. Le dialogue suivant s’engage :

1.       Paul : je ne connais pas les deux nombres X et Y.
2.       Sophie : je savais que tu ne les connaissais pas.
3.       Paul : alors maintenant que tu m’as dit ça, je les connais.
4.       Sophie : alors, maintenant, je les connais aussi.

Quels sont les deux nombres X et Y ?