Rappelons que le problème consiste à trouver 2017 nombres entiers consécutifs non premiers. L'énoncé complet du problème se trouve ici.
Pour comprendre la méthode et vérifier facilement les résultats, je donne un premier exemple pour lequel il faut trouver 4 entiers consécutifs non premiers.
Considérons le produit des 5 nombres entiers consécutifs de 1 à 5 : 1.2.3.4.5 = 120
Ce produit est appelé factorielle de 5 et est noté 5!
Considérons le nombre 5! + 2 =120 + 2 =122
Ce nombre s'écrit : 2.( (3.4.5) +1) ; il est divisible par 2. Il n'est donc pas premier.
De même : 5! + 3 = 3.( (2.4.5) +1) = 123 n'est pas premier car il est divisible par 3.
Idem pour 5! + 4 = 124 qui est divisible par 4 et n'est donc pas premier.
Idem pour 5! + 5 = 125 qui est divisible par 5 et n'est pas donc pas premier.
On a donc trouvé une suite de 4 nombres entiers consécutifs non premiers.
On peut généraliser la méthode pour une suite de n nombres entiers consécutifs, par exemple 2017 dans le problème proposé.
Le même raisonnement conduit à trouver une suite de 2017 nombres entiers consécutifs non premiers :
2018! + 2
2018! + 3
2018! + 4
etc. ...
2018! + 2018
Le résultat général est qu'il est toujours possible de trouver, dans la suite des nombres entiers, une série aussi grande que l'on veut formée par des nombres entiers consécutifs non premiers.
Pour comprendre la méthode et vérifier facilement les résultats, je donne un premier exemple pour lequel il faut trouver 4 entiers consécutifs non premiers.
Considérons le produit des 5 nombres entiers consécutifs de 1 à 5 : 1.2.3.4.5 = 120
Ce produit est appelé factorielle de 5 et est noté 5!
Considérons le nombre 5! + 2 =120 + 2 =122
Ce nombre s'écrit : 2.( (3.4.5) +1) ; il est divisible par 2. Il n'est donc pas premier.
De même : 5! + 3 = 3.( (2.4.5) +1) = 123 n'est pas premier car il est divisible par 3.
Idem pour 5! + 4 = 124 qui est divisible par 4 et n'est donc pas premier.
Idem pour 5! + 5 = 125 qui est divisible par 5 et n'est pas donc pas premier.
On a donc trouvé une suite de 4 nombres entiers consécutifs non premiers.
On peut généraliser la méthode pour une suite de n nombres entiers consécutifs, par exemple 2017 dans le problème proposé.
Le même raisonnement conduit à trouver une suite de 2017 nombres entiers consécutifs non premiers :
2018! + 2
2018! + 3
2018! + 4
etc. ...
2018! + 2018
Le résultat général est qu'il est toujours possible de trouver, dans la suite des nombres entiers, une série aussi grande que l'on veut formée par des nombres entiers consécutifs non premiers.
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