SOLUTION DE "JEUX ET ENIGMES" N° 6 : LA CHEVRE

Rappel du problème : Une chèvre est attachée par un piquet sur la circonférence d'un champ circulaire de rayon R, à l'aide d'une corde de longueur L. Quelle doit-être la longueur L de la corde pour que la chèvre ne puisse brouter que la moitié du champ ?

Compte-tenu de la symétrie de la figure je raisonne  avec le demi-plan supérieur. Dans ce demi-plan la surface à brouter est égale au quart de la surface du champ. Soit S cette surface.  Elle est représentée par la zone en quadrillage fin sur la figure ci-dessous et se compose :

• D’un secteur de cercle CED de rayon L (longueur de la corde),  de centre C. Soit S1 la surface de ce secteur.
• D’une portion de cercle CE sous-tendue par la corde CE, de rayon R (rayon du champ). Soit S2 la surface de cette portion de cercle.

On a : S = S1 + S2

Remarque : j’appelle « secteur de cercle » la partie d’un cercle délimitée par deux rayons et « portion de cercle » la partie délimitée par une corde.

Calcul du secteur circulaire CED (en gris foncé sur la figure ci-dessous), aire S1 :

• Rayon : L
• Angle : α

Calcul de la portion de cercle CE (en gris plus clair sur la figure ci-dessus), aire S2 :

S2 est égale à l'aire S'2 du secteur ACE, (rayon R, angle β) diminuée de l'aire du triangle isocèle ACE, S"2.

L'équation : f(α) = sin(2α) - 2αcos(2α) - π/2 doit être résolue par approximations successives. On cherche les racines de f(α) dans l'intervalle [0, π/2]. Il est facile avec un tableur Excel de montrer que :

π/16 < α < π/15

En effet : 

si α = π/15, f(α) = - 0,037256499 

si α = π/16, f(α) = + 0,19011079

On affine l'approximation entre :

π/15 = 0,9424778 rad et π/16 = 1,005309649 rad

On constate que : 0,9424778 < α < 1,005309649

On affine entre 0,94 et 1,00 :
On constate que 0,952 < α < 0,953

On affine une dernière fois entre 0,952 et 0,953 :

On constate que 0,9528 < α < 0,9529

On conserve pour valeur approchée de α : α = 0,95285 radians.

On vérifie que pour cette valeur de α la fonction f'(x) est quasiment nulle : f(x) = 0,000008.

On en déduit L = 2Rcos(0,92528), soit L= 1,15872499 R, soit, en valeur approchée : L= 1,159R

Exemple : si le champ a un rayon de 50m, la corde devra avoir une longueur L = 1,159*50 = 57,95 m pour que chèvre ne puisse brouter que la moitié du champ.