APERÇU SUR LES CYCLOÏDES

Imaginons un point M dessiné sur une roue de vélo. Lorsque le vélo est à l’arrêt, M est en contact avec le sol. Lorsque le vélo avance, sans glisser et en ligne droite, ce point va être soumis à deux types de mouvements : d’une part une rotation générée par la rotation de la roue ; d’autre part une translation liée à l’avance rectiligne du véhicule. La trajectoire du point M est une cycloïde.

référence de l'illustration

Plus généralement, nous nous intéresserons ici aux courbes induites par le roulement sans glissement d’un cercle mobile sur une droite fixe appartenant au plan du cercle, et plus précisément à la trajectoire d’un point lié au cercle mobile. La lecture de cet article requiert peu de connaissances  mathématiques (il faut savoir ce qu’est une droite, un cercle, une tangente). Nous ne fournissons pas les équations, ni leur justification, qui font appel à des notions mathématiques plus avancées (équations paramétriques, équations intrinsèques, etc.). 

Quelques définitions
• base, ou courbe directrice : droite fixe sur laquelle roule le cercle mobile ;
• roulante ou génératrice du mouvement : cercle mobile, qui roule sur la base ;
• générateur : point mobile attaché au cercle ;
• roulette : courbe décrite par le générateur ;


On appelle trochoïdes les roulettes résultant du roulement sans glissement d’un cercle sur une droite. L’allure des trochoïdes dépend de la position du générateur M (M1, M2, M3) sur la figure qui suit) :

• si M est sur la circonférence du cercle (point M1) on parle tout simplement de cycloïde ;
• si M est à l’intérieur du cercle (point M2), la roulette est une cycloïde raccourcie ;

• enfin, si M est à l’extérieur du cercle (point M3 ) il s’agit d’une cycloïde allongée.

Les cycloïdes


La figure ci-dessous est un tronçon de cycloïde. Dans cet exemple la roue du vélo a effectué une rotation et entame la deuxième.

Une arche de cycloïde (tronçon correspondant à 1 tour de roue) a une longueur égale à 8 fois le rayon du cercle et une aire égale à 3 fois l’aire du cercle. La question de la valeur de l’aire a passionné beaucoup de mathématiciens illustres. Roberval a été le premier à démontrer ce résultat.

Blaise Pascal s’est particulièrement intéressé aus propriétés de la cycloïde (qu’il appelait “roulette”). Il y a consacré un ouvrage le Traité de la roulette. Il a même organisé sur le sujet un concours doté de prix, en guise de défi aux géomètres de son époque.

Quelques propriétés de la cycloïde 

1°/ Considérons deux points A et B d’un plan vertical, A étant à une altitude supérieure à celle de B (mais pas à la verticale de B), comme indiqué sur la figure qui suit. La courbe qui permet à une sphère pesante, telle qu’une bille, de rouler dans un minimum de temps de A jusqu’à B est un arc de cycloïde. Le trajet le plus court est évidemment le segment de droite AB mais l’allongement de parcours est surcompensé par la vitesse de la bille sur l’arc de cycloïde. On appelle cette propriété la brachistochronie.

2°/ Considérons dans un plan vertical l’arc de cycloïde passant par un point A et se terminant au point B à tangente horizontale de l’arc. Si on place sur l’arc de cycloïde des billes identiques en des points différents (figure 4), elles mettront toutes le même temps pour arriver au point B. Cette propriété s’appelle la tautochronie : les allongements ou raccourcissements de parcours sont exactement compensés par la vitesse.

Attention ! Cette propriété n’est vérifiée que si le point d’arrivée de la bille est un minimum de la cycloïde, à tangente horizontale.

3°/ Imaginons un bol dont toute coupe verticale soit un arc de cycloïde. Si on dépose sur cette coupe une sphère pesante (une bille), elle va osciller (figure 5). La période d’oscillation de la bille ne dépend pas de la position de départ de la bille. Cette propriété est appelée l’isochronie.

Ces deux dernières propriétés (tautochronie et isochronie) ont trouvé des applications en horlogerie.

Les cycloïdes raccourcies

Imaginons maintenant que le point M soit l’extrémité de la valve d’une roue de vélo. C’est donc un point du type M2. La roulette correspondante est une cycloïde raccourcie.

La forme de la cycloïde raccourcie rappelle (vaguement !) celle d’une courbe sinusoïdale car les minima sont des points à tangente horizontale, contrairement à la cycloïde « normale » dont les minima sont des points dits « de rebroussement » à tangente verticale.

Les cycloïdes allongées

On obtient une cycloïde allongée lorsque le point M est situé à l’extérieur du cercle (position M3 du point M sur la figure 1).

Il est plus difficile de trouver des exemples réels de véhicules dont une partie d’une roue est à l’extérieur de la circonférence de roulement. C’est par exemple le cas de l’extrémité de la pale d’un bateau à aubes qui se déplace à vitesse constante par rapport à la rive.

On voit que, curieusement, pendant une courte durée, il y a toujours certains points du bateau qui se déplacent en sens inverse du sens de la navigation.

Pour aller plus loin

Les trochoïdes ne sont qu’un exemple de l’immense famille des roulettes. Des dizaines de courbes de ce type ont été étudiées, nommées et classées. Elles différent par la nature de leur base et de leur roulante (cercles, paraboles, ellipses, etc.).

Ainsi par exemple, si la base n’est plus une droite mais un cercle, on entre dans la grande famille des épicycloïdes et des hypocycloïdes. Les premières ressemblent à des fleurs. Les secondes à des étoiles.

En guise de conclusion nous en donnons, ci-dessous, deux exemples :

Exemple d'épicycloïde

Exemple d'hypocycloïde