LE CALCUL DE LA DATE DE PÂQUES

Cet article concerne la date de Pâques adoptée par les églises catholique et protestante. Il ne concerne pas la Pâques orthodoxe, ni la Pâques Juive.
On entend parfois dire que Pâques se situe  " le dimanche qui suit la première pleine lune qui a lieu après l'équinoxe de printemps". Ce n'est pas tout à fait exact. La référence est la définition qu'en a donné le concile de Nicée en l'an 325.

Le concile de Nicée (325)

La définition du concile de Nicée est la suivante :

« Pâques est le dimanche qui suit le 14e jour de la Lune qui atteint cet âge le 21 mars ou immédiatement après. »

Cette définition, qui semble simple, conduit en fait à un calcul compliqué. Quelques remarques préalables :

• Il n'est pas fait référence à l'équinoxe de printemps, mais à une date fixe : le 21 mars. L'équinoxe de printemps peut, en fait, se produire le 19, 20 ou 21 mars ;
• La "Lune" dont il est fait état n'est pas la Lune réelle (observable et dont les tables astronomiques donnent les éphémérides) mais une lune fictive, dite "lune ecclésiastique" basée sur le cycle de Ménon qui suppose qu'il y a 235 mois lunaires lors de 19 années solaires, ce qui n'est pas grossièrement faux mais qui n'est qu'une approximation ;
• Il n'est pas fait référence à la pleine Lune observée, mais au 14ième jour de la lune, ce qui signifie que tout dépend de la date à laquelle on situe la nouvelle Lune "ecclésiastique" ;
• L'âge de la Lune est compté en jours entiers à partir de la nouvelle Lune qui reçoit la valeur 1 (et non 0) ;
• Enfin, il faut prendre en compte le fait que le concile de Nicée a eu lieu en 325, donc avant l'adoption du calendrier grégorien que nous utilisons depuis 1582. Il convient donc, dans les calculs, de prendre en compte les modifications introduites lors du passage du calendrier julien au calendrier grégorien ;
• Il résulte tout ce qui précède que le calcul de la date de Pâques n'est pas un calcul astronomique et que cette date ne peut pas être déduite de l'observation, contrairement à la date du ramadan que les musulmans calculent à partir de l'observation du premier croissant de la Lune nouvelle (ce qui pose d'autres problèmes) ;
• Il en résulte enfin que le problème n'est pas simple (bien qu'il ne demande que des connaissances arithmétiques usuelles) et qu'il n'est pas étonnant que d'illustres mathématiciens (Gauss par exemple) aient contribué à sa résolution.

Je donne ci-dessous la méthode"canonique" de calcul de la date de Pâques dite "grégorienne" (c'est-à-dire qui tient compte des modifications introduites par le calendrier grégorien). Il existe d'autres méthodes.

Méthode de calcul dite "canonique"

référence

La méthode de calcul dite "canonique" (appelée ainsi car elle suit strictement les canons du concile de Nicée) comporte 4 étapes :

1/ Calcul de l'épacte grégorienne d'une année A :

L'épacte grégorienne de l'année A est l'âge de la lune au 1° janvier de l'année A diminué de une unité.

Dans un cas particulier, le cas où l'épacte est égale à 25, on doit également connaître le "nombre d'or" qui est le rang occupé par l'année considérée dans le cycle de Ménon ; le nombre d'or est un nombre entier compris entre 1 et 19 égal au reste de la division de A par 19.

Calcul :

Soit A l'année concernée.
c = Partie entière de (A / 100)
Épacte = RESTE ((11 × RESTE (A / 19) + 8 - c + Partie entière de (c / 4) + Partie entière de ((8 × c + 13) / 25)) / 30)

Si Épacte = 25 et que le nombre d'or N = RESTE(Année /19) > 10, alors Épacte = 26.

Exemple pour l'année 2016 :

c = Partie entière de (A / 100) = Partie entière de (2016 / 100) = 20
Épacte = RESTE ((11 × RESTE (2016 / 19) + 8 - 20 + Partie entière de (20 / 4) + Partie entière de ((8 × 20 + 13) / 25)) / 30)
soit : Épacte = RESTE (11 × 2 + 8 - 20 + 5 + 6) / 30)
soit : Épacte = RESTE (21) / 30 = 21

L'épacte étant différente de 25 la clause relative au nombre d'or ne s'applique pas.

2/ Calcul de la lettre dominicale grégorienne

Pour calculer la lettre dominicale d'une année, on affecte la lettre A au jour de la semaine correspondant au 1° janvier (lundi, mardi, etc.), puis B, C, D, E, F et G aux jours suivants.  On recommence ensuite avec A. La lettre dominicale de l'année est la lettre qui correspond aux dimanches.
Exemple :
Si le 1° janvier de l'année A est un jeudi, on a :

• jeudi 1° janvier : A
• vendredi 2 janvier : B
• samedi 3 janvier : C
• dimanche 4 janvier : D
• lundi 5 janvier : E
• mardi 6 janvier : F
• mercredi 7 janvier : G
• jeudi 8 janvier : A
• vendredi 9 janvier : B,
• etc.

Dans cet exemple, la lettre dominicale est D. Chaque jour de la semaine est affecté de la même lettre tout au long de l'année.

Remarque : le calcul qui suit tient compte du fait que certaines années sont bissextiles.

Calcul :
Soit A l'année concernée et L la lettre dominicale recherchée
L = 7 - RESTE [ (A + Partie entière [ A / 4 ] + Partie entière [ A / 400 ] - Partie entière [ A / 100] + 6) / 7 ]

• Si L=1 : lettre A,
• Si L=2 : lettre B,
• Si L=3 : lettre C
• Si L=3 : lettre D

Exemple pour l'année 2016 :

L = 7-RESTE [ (2016 + Partie entière [ 2016 / 4 ] + Partie entière [ 2016 / 400 ] - Partie entière [ 2016 / 100] + 6) / 7 ]
soit : L = 7-RESTE [ (2016 + 504 + 5- 20+ 6) / 7 ]

soit : L = 7-RESTE [ 2511 / 7 ]
soit : L= 7-5 =2

L=2, donc pour 2016, la lettre dominicale grégorienne est B.

3°/ Calcul de la date de Pâques

Connaissant l'épacte et la lettre dominicale, la date de Pâques est déterminée par le tableau qui suit. L'épacte correspond aux lignes 0 à 29. La lettre ecclésiastique A ... G figure en tête de colonnes.

Pour l'exemple de l'année 2016 l'épacte est 10 et la lettre dominicale est D. Le tableau indique que la date de Pâques en 2016 est le 27 mars (27M dans le tableau).