Je rappelle l'énoncé :
On considère l’équation (E) :
(E) : x5- 3x4 +99x3 –-2x2 +7x-782 = 0
Calculer la somme et le produit des racines de (E).
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| source de l'illustration : http://gammasigmaalpha.org/wp-content/uploads/2010/10/equation_large-300x238.jpg |
Il faut tout d'abord prendre en compte le fait que l'énoncé ne demande pas de calculer les racines de l'équation mais seulement leur somme et leur produit. Il est inutile de se lancer dans des essais laborieux de tentatives de calcul des racines de (E).
On appelle P(x) le polynôme :
P(x) = x5- 3x4 +99x3 –-2x2 +7x-782
On sait qu'un polynôme du 5° degré admet 5 racines (réelles ou complexes) : r1, r2, …, r5 et peut être factorisé comme suit :
P(x) = (x-r1)(x-r2)….(x-r5)
Il est inutile d’effectuer le développent complet. Pour le problème qui nous occupe on se contentera de constater que, après développement :
• le coefficient de x4 est égal à : -r1 –r2-r3-r4-r5 = - S, avec S= somme des racines;
• le terme constant est : -(r1.r2.r3.r4.r5) = - P, avec P= produit des racines.
Par identification avec x5- 3x4 +99x3 –-2x2 +7x-782, on a :
Somme des racines S = -(-3) =3
Produit des racines P = -(-782) = 782
P(x) = x5- 3x4 +99x3 –-2x2 +7x-782
On sait qu'un polynôme du 5° degré admet 5 racines (réelles ou complexes) : r1, r2, …, r5 et peut être factorisé comme suit :
P(x) = (x-r1)(x-r2)….(x-r5)
Il est inutile d’effectuer le développent complet. Pour le problème qui nous occupe on se contentera de constater que, après développement :
• le coefficient de x4 est égal à : -r1 –r2-r3-r4-r5 = - S, avec S= somme des racines;
• le terme constant est : -(r1.r2.r3.r4.r5) = - P, avec P= produit des racines.
Par identification avec x5- 3x4 +99x3 –-2x2 +7x-782, on a :
Somme des racines S = -(-3) =3
Produit des racines P = -(-782) = 782
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